Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare

Lidhur me zgjidhshmërinë e sistemit të ekuacioneve lineare (32) do të dallojmë këto tri raste

1°. Kur $D\ne 0$, sistemi i ekuacioneve lineare (32) është i mundshëm dhe i caktuar, sepse $\frac{D_i}{D}(i=1,2,3)$ ekzistojnë.

2°. Kur $D=0$ dhe $\mathrm{\exists }{A}_{ik}\ne 0>(i,k=1,2,3)$ sistemi i ekuacioneve lineare (32) është ekuivalent me këtë sistem të ekuacioneve:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2\end{array}$(...32a) $\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ a_{21}& a_{22}& a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2\\ a_{31}& a_{32}& a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3=b_3\end{array}\right|=0$

Vërtet, kur supozojmë se treshi i renditur $(t_1,t_2,t_3)$ është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32), ai është zgjidhja edhe i sistemit të ekuacioneve (32a), sepse ekuacioni i tretë i këtij sistemi, në atë rast, reduktohet në këtë formulë të saktë:

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& 0\\ a_{21}& a_{22}& 0\\ a_{31}& a_{32}& 0\end{array}\right|=0$

Ndërkaq, kur supozojmë se treshi i renditur $(t_1,t_2,t_3)$ është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32a) dhe $A_{33}\ne 0$, ekuacioni i tretë i këtij sistemi merr këtë trajtë:

$(a_{31}{t}_1+a_{32}{t}_2+a_{33}{t}_3-b_3)A_{33}=0ose{a}_{31}{t}_1+a_{32}{t}_2+a_{33}{t}_3-b_3=0,$

çka do të thotë se $(t_1,t_2,t_3)$ është zgjidhja edhe e sistemit (32). D.m.th. në kushtet e përmendura sistemet (32) dhe (32a) janë ekuivalente. Nga ekuivalenca e tyre rrjedh se shqyrtimi i zgjidhshmërisë së sistemit (32) mund të bëhet nëpërmjet të sistemit (32a). Për këtë qëllim e zhvillojmë përcaktorin në ekuacionin e tretë të sistemit (32a) në kofaktor sipas elementeve të shtyllës së tretë, ku pas reduktimit merret:

$(a_{13}{A}_{13}+a_{23}{A}_{23}+a_{33}{A}_{33})x_3=b_1{A}_{13}+b_2{A}_{23}+b_3{A}_{33}\Rightarrow D{x}_3=D_3,$

sepse koeficientet e $x_1$ dhe $x_2$ janë të barabarta me zero. Në bazë të relacionit të fundit përfundojmë:

(a) Nëse $D_3\ne 0$, sistemi (32) është i pamundshëm;

(b) Nëse $D_3=0$, sistemi (32) është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në dy ekuacione me tri të panjohura:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2\end{array}$

Në këtë sistem, kur $x_3$ e trajtojmë si parametër, kemi:

$\begin{array}{ccc}{x}_1=\frac{\left|\begin{array}{cc}{b}_1-a_{13}{x}_3& a_{12}\\ b_2-a_{23}{x}_3& a_{22}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}& ,& x_2=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1-a_{13}{x}_3\\ a_{21}& b_2-a_{23}{x}_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}\end{array}$

3°. Kur $D=0,A_{ik}=0(\mathrm{\forall }i,k=1,2,3)$ dhe $\mathrm{\exists }{a}_{ik}\ne 0$, ekuivalent me:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3-b_1\\ a_{21}& a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3-b_2\end{array}\right|=0\\ \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3-b_1\\ a_{31}& a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3-b_3\end{array}\right|=0\end{array}$ (...32b)

Ekuivalenca e këtyre dy sistemeve vërtetohet sikurse në rastin e mëparshëm.

Dy ekuacionet e fundit të sistemit (32b) mund të shprehen në këtë mënyrë

$\begin{array}{c}(a_{11}{a}_{21}-a_{11}{a}_{21})x_1+(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})x_2+(a_{11}{a}_{23}-a_{13}{a}_{21})x_3=a_{11}{b}_2-a_{21}{b}_1\\ (a_{11}{a}_{31}-a_{11}{a}_{31})x_1+(a_{11}{a}_{32}-a_{12}{a}_{31})x_2+(a_{11}{a}_{33}-a_{13}{a}_{31})x_3=a_{11}{b}_3-a_{31}{b}_1\end{array}$

prej nga, duke marrë parasysh kushtet, del:

$\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|=0& & \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{31}& b_3\end{array}\right|=0\end{array}$

D.m.th.:

(a) Nëse të paktën njëri prej përcaktorëve

$\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|& ose& \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{31}& b_3\end{array}\right|\end{array}$

nuk është i barabartë me zero, sistemi (32) është i pamundshëm;

(b) Nëse të dy këta përcaktorë janë të barabartë me zero sistemi është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura:

$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1.$

Shembuj

Për vlerat e ndryshme të parametrit $m$ të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit:

$\begin{array}{c}m{x}_1+x_2+x_3=1\\ x_1+m{x}_2+x_3=m\\ x_1+x_2+m{x}_3=m^2.\end{array}$

Zgjidhje Meqë në këtë rast

$D=(m-1){}^2(m+2),D{}_1=-(m-1){}^2(m+1),D{}_2=(m-1){}^2,D{}_3=(m-1){}^2(m+1){}^2$

ku ylerat karakteristike të parametrit $m$ për përcaktorin kryesor janë $-2$ dhe $1$, kurse për përcaktorët karakteristikë $-1$ dhe $1$, pra:

(a) Për $\mathrm{\forall }m\ne -2\vee 1:D\ne 0$, sistemi i dhënë është i mundshëm ku

$x_1=\frac{m+1}{m+2},x_2=\frac{1}{m+2},x_3=\frac{(m+1{)}^2}{m+2},$

(b) Për $m=-2:D=0,\mathrm{\exists }{A}_{ik}\ne 0$ (p.sh. $A_{33}=3$) dhe $D_3=9\ne 0$, prandaj sistemi i dhënë është i pamundshëm;

(c) Për $m=1:D=0,A_{ik}=0(\mathrm{\forall }i,k=1,2,3),\mathrm{\exists }{a}_{ik}\ne 0$ (p.sh. $a_{11}=1$) dhe

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=0,\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{31}& b_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=0$

prandaj sistemi i dhënë reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura: $x_1+x_2+x_3=1$. Zgjidhjet e këtij ekuacioni janë $(1-m-n,m,n)$ ku $m,n$ janë dy parametra çfarëdo.