Teorema e Kronecker-Capellit

Matrica e ekuacionit linear dhe matrica e zgjeruar e tij

Le të marrim sistemin e $m$ ekuacioneve lineare me $n$ të panjohura:

$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k=b_i(i=1,2,\cdots ,m)$. (...44)

Në këtë rast matrica drejtkëndore $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$ quhet matrica e sistemit të ekuacioneve lineare (44), ndërsa matrica drejtkëndore

$B=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right]$ (...45)

quhet matrica e zgjeruar e atij sistemi.

Thuhet se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm nëse ekziston bashkësia e vlerave $t_k(k=1,2,...,n)$ e atillë që

$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{t}_k=b_i(i=1,2,...,m)$(...44a)

paraqet një sistem i $m$ formulave të sakta. Bashkësia e vlerave të atilla quhet zgjidhja e sistemit të ekuacioneve lineare (44).

Teorema e Kronecker - Capellit

T e o r e m a: e Kronecker - Capellit. - Sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm atëherë dhe vetëm atëherë nëse $r(A)=r(B)$.

V ë r t e t i m: Hipoteza e teoremës është e nevojshme, meqë supozimi se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm, implikon që $r(A)=r(B)$.

Vërtet, kur e shumëzojmë me radhë shtyllën e parë, të dytë,$\cdots$, shtyllën $n$ të matricës $B$ me numrat: $-t_1,-t_2,\dots t_n$ dhe pastaj ato prodhime i shtojmë shtyllës së fundit, përftohet kjo matricë ekuivalente:

$\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& & b_1-\underset{k=1}{\sum ^n}{a}_{1k}{t}_k\\ ⋮& & & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& & b_m-\underset{k=1}{\sum ^n}{a}_{mk}{t}_k\end{array}\right]$

Të gjitha elementet e shtyllës $n+1$ të kësaj matrice janë të barabarta me zero (në bazë të formulave (44a)), prandaj konkludojmë se $r(A)=r(B)$.

Hipoteza e teoremës është e mjaftueshme, sepse kushti $r(A)=r(B)$ implikon që sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm.

Vërtet, kur $r(A)=r(B)=r$, atëherë ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$ të matricës $A$. Le të supozojmë se submatrica e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës. Në këtë rast $r$ rreshta të parë të matricës $A$ dhe matricës $B$ janë linearisht të pavarur, ndërkaq rreshtat tjerë në këto matrica janë kombinime lineare nga ata $r$ rreshta të para. Nga kjo del se tani sistemi i ekuacioneve lineare (44) reduktohet në $r$ ekuacione lineare me $n$ të panjohura:

$\begin{array}{ccccccccc}{a}_{11}{x}_1& +& a_{12}{x}_2& +& \cdots & +& a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ a_{21}{x}_1& +& a_{22}{x}_2& +& \cdots & +& a_{2n}{x}_n& =& b_2\\ & & & & & & & ⋮& \\ a_{r1}{x}_1& +& a_{r2}{x}_2& +& \cdots & +& a_{rn}{x}_n& =& b_r\end{array}$

ndërsa ekuacionet tjera të atij sistemi mund të flaken (mënjanohen). Stampa:DygishtaVarësisht prej vlerës së numrit r, dallojmë këto dy raste:

1°. Kur $r=n$ (d.m.th. kur $r(A)=n$), sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm dhe i caktuar, zgjidhjen e tij mund ta njehsojmë me formulat e Cramerit ose me algoritmin e Gaussit; dhe

2°. Kur $r<n$ (d.m.th. kur $r(A)<n$), sistemi i ekuacioneve lineare është i mundshëm, por i pacaktuar dhe ai sistem, respektivisht sistemi (44b), mund të shprehet në formën:

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1r}{x}_r=b_1-a_{1,r+1}{x}_{r+1}-& \cdots & -a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2r}{x}_r=b_2-a_{2,r+1}{x}_{r+1}-& \cdots & -a_{2n}{x}_n\\ & ⋮& \\ a_{r1}{x}_1+a_{r2}{x}_2+\cdots +a_{rr}{x}_r=b_r-a_{r,r+1}{x}_{r+1}-& \cdots & -a_{rn}{x}_n\end{array}$

Zgjidhja ($x_1,x_2,\dots ,x_r$) e këtij sistemi të ekuacioneve lineare varet nga të panjohurat $x_{r+1},x_{r+2},\dots ,x_n$ të cilat konsiderohen si parametra. Pra, në këtë rast sistemi i ekuacioneve lineare (44) ka pafund shumë zgjidhjesh.

Kur në sistemin e ekuacioneve lineare (44) të gjitha kufizat e lira janë të barabarta me zero ($b_i=0,i=1,2,\dots ,m$), sistemi i tillë quhet sistem i ekuacioneve lineare homogjene:

$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k=0(i=1,2,\dots .m)$.(...46)

Ky sistem ekuacionesh lineare homogjene ka vetëm zgjidhjen triviale $x_1=0,x_2=0,\dots ,x_n=0$, nëse $r(A)=n$.

Sistemi i ekuacioneve lineare homogjene (46) ka, përveç zgjidhjes triviale, edhe pa fund shumë zgjidhjesh tjera, nëse $r(A)<n$.

Shembuj

Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

$\begin{array}{ccccccccc}3x_1& -& 5x_2& +& 2x_3& +& 4x_4& =& 2\\ 7x_1& -& 4x_2& +& x_3& +& 3x_4& =& 5\\ 5x_1& +& 7x_2& -& 4x_3& -& 3x_4& =& 3\end{array}$

Z g j i d h j e: Këtu $r(A)=2,r(B)=3$, prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i pamundshëm.

---

Të shgyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

$\begin{array}{ccccccc}3x_1& -& 2x_2& +& x_3& =& 3\\ 2x_1& -& 3x_2& +& x_3& =& 0\\ x_1& +& x_2& -& 2x_3& =& 5\\ -x_1& +& 2x_2& -& 2x_3& =& 2\end{array}$

Z g j i d h j e: Këtu $r(A)=r(B)=3$, prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i mundshëm dhe është ekuivalett me këtë sistem ekuacionesh:

$\begin{array}{ccccccc}3x_1& -& 2x_2& +& x_3& =& 3\\ 2x_1& -& 3x_2& +& x_3& =& 0\\ x_1& +& x_2& -& 2x_3& =& 5\end{array}$

Ngase $r=n$, sistemi i ekuacioneve të dhënë është i caktuar dhe zgjidhja e tij është treshi i renditur ($2;1;-1$).

---

Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit

$\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3-2x_4=1\\ x_1+x_2-x_3-2x4=-1\\ x_1+x_2+5x_3-2x_4=5\end{array}$

Z g j i d h j e: Në këtë rast $r(A)=r(B)=2<n$, prandaj sistemi i dhënë është i mundshëm, por i pacaktuar. Ky sistem ekuacionesh reduktohet në sistemin prej dy ekuacioneve lineare me katër të panjohura:

$\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3-2x_4=1\\ x_1+x_2-x_3-2x_4=-1\end{array}$

të cilin e shprehim në këtë trajtë:

$\begin{array}{c}{x}_1+x_3=2x_4-x_2+1\\ x_1-x_3=2x_4-x_2-1\end{array}$

Në sistemin e fundit e marrim: $x_2=a,x_4=b$, ndërsa e njehsojmë: $x_1=2b-a,x_3=1$, prandaj konstatojmë se zgjidhjet e sistemit të dhënë janë katërshet e renditura ($2b-a,a,1,b$).