Shumëzimi i matricave dhe fuqia e matricës katrore

Prodhimi i dy matricave

Përkufizimi

Prodhimi i dy matricave $A = [a i;]_{m, n} B = [b_{j k}]_{n, p}$ quhet matrica $C = [c_{i k}]_{m, p}$ elementet e së cilës shprehen me relacionet:

c_{i k} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j k} (i = 1, 2, . . ., m; k = 1, 2, . . ., p)

^[1]

Formulimi

[a_{i j}]_{m, n} \cdot [b_{j k}]_{n, p} = [\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j k}]_{m, p}

(...18)

Vetitë

Nga ky përkufizim del:

(1) Elementi

c_{i k}

i prodhimit të matricave

A, B

është i barabartë me shumën algjebrike të prodhimeve të elementeve të rreshtit „

i

" të matricës

A

me elementet korresponduese të shtyllës „

k

" të matricës

B

. Tabela që vijon paraqet skemën e njehsimit të këtij elementi:

Skeda:094 Tabela e matricave.PNG

(2) Prodhimi i dy matricave

A, B

ekziston atëherë dhë vetëm atëherë, nëse numri i shtyllave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Prandaj del se gjithmonë ekziston prodhimi i matricave katrore të rendit të njëjtë.

Përjashtimi i ligjit të komutacionit

Kështu fare nuk mund të flitet për ligjin e komutacionit lidhur me shumëzimin e matricave drejtkëndore, ose të matricës drejtkëndore me matricën katrore, sepse me ndërrimin e renditjes së faktorëve, eliminohet kushti i nevojshëm që numri i shtyllave të faktorit të parë të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Madje, në përgjithësi, as shumëzimi i dy matricave katrore nuk është veprim komutativ. Vërtet, nëse e marrim se $A = [a_{i k}]_{1}^{n}, B = [b_{i k}]_{1}^{n}$ janë çfarëdo dy matrica katrore të rendit $n$ atëherë elementi $c_{i k}$ i prodhimit $A \cdot B$ është:

c_{i k} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j k} = a_{i 1} b_{1 k} + a_{i 2} b_{2 k} + \dots + a_{i n} b_{n k}

ndërsa elementi përkatës $d_{i k}$ i prodhimit $B \cdot A$ është:

d_{i k} = \sum_{j = 1}^{n} b_{i j} a_{j k} = b_{i 1} a_{1 k} + b_{i 2} a_{2 k} + \dots + b_{i n} a_{n k}

nga del se, në rastin e përgjithshëm:

c_{i k} \neq d_{i k} (i, k = 1, 2, . . ., n)

.

Matricat komutative

Mirëpo, kur për dy matrica katrore $A, B$ vlen ligji i komutacionit $(A \cdot B = B \cdot A)$ , ato quhen matrica komutative.

Shembuj

Le të jenë dhënë matricat

A = [\begin{matrix} 4 & 2 \\ - 2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 1 & - 5 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 5 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 5 & 3 \end{matrix}]

Të njehsohen prodhimet $A \cdot B$ dhe $B \cdot A$ .

Z g j i d h j e Duke aplikuar formulën (18) përftojmë:

A \cdot B = [\begin{matrix} 24 & 12 & 10 & 18 \\ - 2 & 14 & 20 & 6 \\ 11 & 13 & 15 & 12 \\ - 5 & - 19 & - 25 & - 12 \end{matrix}]

, dhe

B \cdot A = [\begin{matrix} 21 & - 1 \\ 8 & 20 \end{matrix}]

Të vërtetohet se matrica e njësishme $E$ e rendit $n$ është element neutral lidhur me shumëzimin e matricave katrore të rendit $n$ . respektivisht se $A \cdot E = E \cdot A = A$ .

V ë r t e t i m: Duke përdorur formulat (14) dhe (18) njehsojmë elementin që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $k$ për prodhimet $E \cdot A$ dhe $A \cdot E$ :

c_{i k} = \sum_{j = 1}^{n} δ_{i j} a_{j k} = a_{i k}, d_{i k} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} δ_{j k} = a_{i k}

.

Pra, meqë $c_{i k} = d_{i k} = a_{i k}$ konkludojmë se është i saktë pohimi.

Ligjet për shumëzimin e matricave

Për shumëzimin e matricave vlejnë këto ligje:

(b₁)

α (A B) = (α A) B = A (α B)

;

(b₂)

(A B) C = A (B C)

;

(b₃)

(A + B) C = A C + B C

;

(b₄)

A (B + C) = A B + A C

.

Vërtetimi i ligjit të asociacionit

Të vërtetojmë, p.sh. ligjin e asociacionit: $(A B) C = A (B C)$ .

Le të supozojmë se matricat A, B, C janë:

A = [a_{i j}]_{m, n}, B = [b_{j k}]_{n, p}, C = [c_{k i}]_{p, q}

.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $k$ të matricës $A B$ është:

d_{i k} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j k}

.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $l$ të matricës $(A B) C$ është:

e_{i l} = \sum_{k = 1}^{p} d_{i k} c_{k i} = \sum_{k 1}^{p} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j k}) c_{k l} = \sum_{k = 1}^{p}, \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j k} c_{k i}

.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $j$ me shtyllën $l$ të matricës $B C$ është:

f_{j l} = \sum_{k = 1}^{p} b_{j k} c_{k l}

.

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $i$ me shtyllën $l$ të matricës $A (B C)$ është:

g_{i l} = a_{i j} f_{j l} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} (\sum_{k = 1}^{p} b_{j k} c_{k l}) = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{p} a_{i j} b_{j k} c_{k l}

.

Meqenëse është i saktë relacioni

\sum_{k = 1}^{p} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j k} c_{k l} = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{p} a_{i j} b_{j k} c_{k l}

,

konkludojmë se shumëzimi i matricave është veprim asociativ. Fuqia e matricave katrore

Burime

↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).

[1] Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).

[1]

Shumëzimi i matricave dhe fuqia e matricës katrore

Përmbajtjet

Prodhimi i dy matricave

Përkufizimi

Formulimi

Vetitë

Përjashtimi i ligjit të komutacionit

Matricat komutative

Shembuj

Ligjet për shumëzimin e matricave

Vërtetimi i ligjit të asociacionit

Burime

Menuja e navigimit

Shumëzimi i matricave dhe fuqia e matricës katrore

Prodhimi i dy matricave

Përkufizimi

Formulimi

Vetitë

Përjashtimi i ligjit të komutacionit

Matricat komutative

Shembuj

Ligjet për shumëzimin e matricave

Vërtetimi i ligjit të asociacionit

Burime

Menuja e navigimit

Kërko