Relacioni i ekuivalencës
Stampa:StyllaAlgjebraepërgjithëshme Relacione më të rëndësishme të ekuivalencës janë : barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria.
Përkufizimi i ekuivalencës
Relacion binar Stampa:Mate në Stampa:Mate quhet relacion i ekuivalencës, nëse është refleksiv, simetrik dhe transitiv.[1]
Simboli i përgjithëshem
Relacionet e ekuivalencës luajnë një rol të rëndësishëm në matematikë dhe shënohen me një simbol të përbashkët ~.
Klaset e ekuivalencës
Relacioni i ekuivalencës ~ i përkufizuar në bashkësinë Stampa:Mate e zbërthen atë në nënbashkësi që quhen klaset e ekuivalencës. Kështu, nëse Stampa:Mate, atëhetë elementet e bashkësisë Stampa:Mate që janë ekuivalent me elementin Stampa:Mate (d.m.th. Stampa:Mate formojnë nënbashkësinë
e cila quhet klasa e ekuivalencës ~ me përfaqësuesin Stampa:Mate.
Kur bashkësia A, lidhur me ekuivalencën ~, zbërthehet në klasa, atëherë:
- Çdo element i bashkësisë Stampa:Mate i përket një klase ;
- Asnjë element nuk u përket dy klasave të ndryshme ; dhe
- Unioni i të gjitha klasave është i barabartë me bashkësinë Stampa:Mate.
Pra konkludojmë se klasat e ekuivalencës janë disjunkte ndërmjet tyre.
Teorema e klasave
Çdo ekuivalencë ~ në bashkësinë Stampa:Mate e përkufzon një zbërthim të Stampa:Mate-së në klasa të ekuivalencës dhe e anasjellta, çdo zbërthim të bashkësisë Stampa:Mate në klasa të ekuivalencës e përkufzon një relacion të ekuivalencës në bashkësinë Stampa:Mate.
V ë r t e t i m : a) Le të supozojmë të kundërtën - se dy klasa të ndryshme Stampa:Mate nuk janë disjunkte : Stampa:Mate. Atëherë del se :
nga marrim
meqë relacioni ~ është transitiv.
Tani, në bazë të formulës së përftuar Stampa:Mate, mund të provojmë se Stampa:Mate dhe Stampa:Mate. Vërtet:
- 1Stampa:Mate, andaj kemi:
çka, sipas përkufizimit 2.1.1., del se Stampa:Mate;
- 2 Stampa:Mate, andaj:
d.m.th. Stampa:Mate.
Në fund, në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim :
Pra, nga supozimi Stampa:Mate del se klasat e ekuivalencës Stampa:Mate nuk janë të ndryshme Stampa:Mate, andaj konkludojmë se pohimi i parë i teoremës është i saktë.
b) Për të vërtetuar pohimin e anasjelltë supozojmë se Stampa:Mate paraqet një zbërthim çfarëdo të bashkësisë Stampa:Mate në klasa të ekuivalencës ... Në bashkësinë Stampa:Mate e përkufizojmë relacionin binar ρ në këtë mënyrë : Për elementet
Relacioni binar ρ , i përkufizuar në këtë mënyrë, është relacion i ekuivalencës, sepse është
- (i) Refleksiv : Stampa:Mate sepse çdo Stampa:Mate i përket njërës klasë të ekuivalencës Stampa:Mate ;
- (ii) Simetrik : Ngase kur Stampa:Mate, atëherë edhe Stampa:Mate, meqë kur elementet e dyshes Stampa:Mate i përkasin njërës klasë Stampa:Mate , asaj klase i përkasin edhe elementet e dyshes Stampa:Mate ; dhe
- (iii) Transitiv : Nga se kur Stampa:Mate dhe Stampa:Mate, atëherë edhe Stampa:Mate, meqë kur elementet e dysheve Stampa:Mate dhe Stampa:Mate i përkasin njërës klasë të ekuivalencës, asaj klase u përkasin edhe elementet e dyshes Stampa:Mate.
Bashkësia e klasave të ekuivalencës
Bashkësia e klasave të ekuivalencës ~ shënohet me
dhe quhet faktor-bashkësi e bashkësisë Stampa:Mate në lidhje me ekuivalencën
Relacion i kongruencës
Në bashkësinë e zgjeruar të numrave, natyralë Stampa:Mate është përkufizuar relacioni binar ρ me :
i cili mund të shprehet edhe kështu :
Meqë:
- (1)Stampa:Mate ose Stampa:Mate ;
- (2)Stampa:Mate ose Stampa:Mate ;
- (3)Stampa:Mate ose Stampa:Mate
konkludojmë se ρ është relacion i ekuivalencës. Ky relacion quhet relacion i kongruencës sipas modulit Stampa:Mate dhe shënohet me Stampa:Mate
Me relacionin e kongruencës sipas modulit Stampa:Mate bashkësia Stampa:Sub zbërthehet në këto Stampa:Mate klasa të ekuivalencës :
ku secila klasë karakterizohet me vlerën e mbetjes Stampa:Mate. Pra, klasën Stampa:Mate e përbëjnë të gjithë numrat natyralë të cilët kur pjesëtohen me Stampa:Mate japin mbetjen Stampa:Mate, andaj Stampa:Mate quhet edhe klasa e mbetjes Stampa:Mate.
Të konkludojmë : bashkësia Stampa:Sub në lidhje me relacionin e kongruencës sipas modulit Stampa:Mate zbërthehet në Stampa:Mate klasa : në klasën e mbetjes Stampa:Mate, në klasën e mbetjes Stampa:Mate , në klasën e mbetjes Stampa:Mate. Klasat Stampa:Mate ngandonjëherë shënohen me : Stampa:Mate.
Për Stampa:Mate kemi këto tri klasa:
Pra: Stampa:Mate
- ↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).