Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës

Varshmëria e rreshtave të matricës

Përkufizimi

Për rreshtat

$[a_{i1}{a}_{i2}\cdots a_{in}](i=1,2,\dots ,m)$

e matricës

$A=[a_{ik}{]}_{m,n}$

thuhet se janë linearisht të varur, përkatësisht të pavarur kur format lineare

$f_i=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k(i=1,2,\dots m)$

janë linearisht të varura, përkatësisht të pavarura.

Varshmëria e shtyllave të matricës

Përkufizimi

Për shtyllat

$\left[\begin{array}{c}{a}_{1k}\\ a_{2k}\\ ⋮\\ a_{mk}\end{array}\right](k=1,2,\dots ,n)$

e matricës

$A=[a_{ik}{]}_{m,n}$

thuhet se janë linearisht të varura, përkatësisht të pavarura kur format lineare

$f_i=\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{x}_k(1=1,2,\cdots ,m)$

janë linearisht të varura, përkatësisht të pavarura.

Teorema për maricat singulare

T e o r e m a: Matrica katrore $A=[a_{ik}{]}_1^n$ është matricë singulare atëherë dhe vetëm atëherë nëse rreshtat e saj janë linearisht të varur.

V ë r t e t i m: Hipoteza e teoremës është e nevojshme, meqë supozimi $\det A=0$ implikon që $r(A)<n$, çka do të thotë se së paku një rresht i matricës $A$ është kombinimi linear i rreshtave të tjerë.

Hipoteza e teoremës është e mjaftueshme, sepse varësia lineare e rreshtave të matricës $A$ implikon që $\det A=0$ (meqë në atë rast $\det A$ mund të shprehet në formë të shumës së disa përcaktorëve që përmbajnë nga dy rreshta me elemente përkatëse proporcionale).

Nga këto që thamë për rreshtat e matricës katrore $A=[a_{ik}{]}_1^n$ vlen edhe për shtyllat e saj, prandaj konkludojmë:

Nëse rreshtat e matricës $A=[a_{ik}{]}_1^n$ janë linearisht të varur, atëherë edhe shtyllat e saj janë linearisht të varura; ose në përgjithësi vlen:

Teorema për matricat drejtëkëndore

T e o r e m a:Në çdo matricë drejtkëndore $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$ numri i rreshtave të pavarur të saj është i barabartë me numrin e shtyllave të pavarura të saj.