Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve

Stampa:StyllaMatricatdhepërcaktorët Për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë rëndom shfrytëzohen këto skema:

(a)	Skeda:101a skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG
(b)	Skeda:101b skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG

(b₁)	Skeda:102b1 skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG
(c)	Skeda:102c skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG

Skemat (b), (b₁) shprehin rregullën e Legendrit ose rregullën e trekëndëshit, kurse skema (c) rregullën e Sarrusit. Përdorimi i tyre shihet qartas.

Mirëpo, për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të tretë mund të shfrytëzohet edhe vetë formula përkufizuese (25). Kur polinomin e këtij përcaktori e paraqesim në këtë trajtë:

a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) - a_{12} (a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31}) + a_{13} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31})

respektivisht

a_{11} | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} | - a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} | + a_{13} | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} |

atëherë kemi:

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = a_{11} | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} | - a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} | + a_{13} | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} |

(...25a)

ku përcaktorët e rendit të dytë:

| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} |, | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} |, | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} |

quhen subdeterminante ose minore të elementeve $a_{11}, a_{12}, a_{13}$ të $\det A$ . Kur përcaktorin e rendit të tretë (25a) emërtojmë me $D$ , atëherë minoret e elementeve $a_{11}, a_{12}, a_{13}$ emërtohen me $D_{11}, D_{12}, D_{13}$ dhe përcaktori shprehet:

D = a_{11} D_{11} - a_{12} D_{12} + a_{13} D_{13}

. (...25b)

Kur përcaktorin e rendit të tretë e shprehim në formën (25a) ose (25b) themi se atë e kemi zhvilluar në minore (subdeterminante) sipas elementeve të rreshtit të parë. Fare lehtë mund të provohet se përcaktori $D$ mund të zhvillohet në minore sipas elementeve të cilido rresht ose shtyllë.

Në përgjithësi, minori që i përgjigjet elementit $a_{i k}$ shënohet me $D_{i k}$ . Prodhimi i minorit $D_{i k}$ me numrin $(- 1)^{1 + k}$ quhet kofaktor (komplementi algjebrik) i elementit $a_{i k}$ dhe shënohet $A_{i k}$ , pra:

A_{i k} = (- 1)^{i + k} D_{i k}

. (...27)

Duke pasur parasysh këtë, formula (25b) merr këtë trajtë:

D = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}

Nuk është vështirë të provohet se, në përgjithësi, përcaktori i rendit të tretë $D$ mund të shprehet me formulat:

D = {\begin{matrix} a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + a_{i 3} A_{i 3} & (i = 1, 2, 3) \\ a_{1 k} A_{1 k} + a_{2 k} A_{2 k} + a_{3 k} A_{3 k} & (k = 1, 2, 3) \end{matrix}

(...28)

që quhen formulat e Laplacit^[1].

Kur formulat e Laplacit i përgjithësojmë për përcaktorin e rendit $n$ përftojmë:

D = {\begin{matrix} a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{i n} A_{i n} & (i = 1, 2, \dots, n) \\ a_{1 k} A_{1 k} + a_{2 k} A_{2 k} + \dots + a_{n k} A_{n k} & (k = 1, 2, \dots, n) \end{matrix}

^[2](...28a)

Nga këto formula shihet se njehsimi i përcaktorit të rendit $n$ reduktohet në njehsimin e $n$ përcaktorëve të rendit $n - 1$ .

Shembuj

Të njehsohet vlera e përcaktorit

D = | \begin{matrix} a^{2} & 2 a b & b^{2} \\ a c & a d + b c & b d \\ c^{2} & 2 c d & d^{2} \end{matrix} |

Z g j i d h j e: E zhvillojmë përcaktorin në minore sipas elementeve të rreshtit të dytë dhe njëherit aplikojmë vetitë e përcaktorëve siç vijon;

	$D$	$= - a c \| \begin{matrix} 2 a b & b^{2} \\ 2 c d & d^{2} \end{matrix} \| + (a d + b c) \| \begin{matrix} a^{2} & b^{2} \\ c^{2} & d^{2} \end{matrix} \| - b d \| \begin{matrix} a^{2} & 2 a b \\ c^{2} & 2 c d \end{matrix} \|$
		$= - 2 a b c d \| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \| + (a d + b c) \| \begin{matrix} a^{2} & b^{2} \\ c^{2} & d^{2} \end{matrix} \| - 2 a b c d \| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \|$ $= - 4 a b c d \| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \| + (a d + b c) (a^{2} d^{2} - b^{2} c^{2})$ $= - 4 a b c d (a d - b c) + (a d - b c)^{2} (a d - b c)$ $= (a d - b c) [(a d - b c)^{3} - 4 a b c d] = (a d - b c)^{3}$ .

Të vërtetohet identiteti

| \begin{matrix} a - b - c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b - c - a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c - a - b \end{matrix} | = (a + b + c)^{3}

.

V ë r t e t i m: Duke shfrytëzuar vetitë e përcaktorëve kryhen këto transformime identike

$\| \begin{matrix} a - b - c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b - c - a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c - a - b \end{matrix} \|$	$= i + (i i + i i i)$	$\| \begin{matrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ 2 b & b - c - a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c - a - b \end{matrix} \|$
	$= (a + b + c)$	$\| \begin{matrix} 1 & l & 1 \\ 2 b & b - c - a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c - a - b \end{matrix} \|$
	$= (a + b + c)$	$\| \begin{matrix} 1 & \overset{(i i - i)}{0} & \overset{(i i i - i)}{0} \\ 2 b & - (a + b + c) & 0 \\ 2 c & 0 & - (a + b + c) \end{matrix} \|$
	$= (a + b + c)$	$\| \begin{matrix} - (a + b + c) & 0 \\ 0 & - (a + b + c) \end{matrix} \|$
	$= (a + b + c)^{3}$ .

↑ 4) Sipas emrit të matematikanit të shquar francez Pilere Simon de Laplace (1749-1827).
↑ 5) Vërtetimin e këtyre formulave mund ta gjeni në [21), fq. 85-87.

[1] 4) Sipas emrit të matematikanit të shquar francez Pilere Simon de Laplace (1749-1827).

[2] 5) Vërtetimin e këtyre formulave mund ta gjeni në [21), fq. 85-87.

[1]

[2]

Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve

Shembuj

Menuja e navigimit

Kërko