Matricat regulare, singulare dhe inverse

Matrica regulare

Përkufizimi

Matrica katrore $A=[a_{ik}{]}_1^n$ quhet matricë regulare nëse $\det A\ne 0$, kurse është matricë singulare nëse $\det A=0$.

Vetit

Matrica regulare quhet edhe matricë e padegjeneruar ose matricë josingulare, ndërkaq matrica singulare quhet edhe matricë joregulare ose matricë e degjeneruar.

Matrica inverse

Përkufizimi

Matrica inverse e matricës regulare $A=[a_{ik}{]}_1^n$ quhet matrica $A^{-1}$ për të cilën vlen relacioni

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$, (...36)

ku $E$ është matricë e njësishme e rendit $n$.

Vetit

Për matricën inverse $A^{-1}$ të matricës regulare $A=[a_{ik}{]}^{n}j$ vlen relacioni:

$A^{-1}=\frac{adjA}{\det A}$ (...37)

Vërtet, nga formula (29a) kemi:

$AadjA=DE$, respektivisht $\frac{AadjA}{\det A}=E$.

Shfrytëzojmë tani edhe formulën përkufizuese (36) dhe marrim:

$A{A}^{-1}=\frac{AadjA}{\det A}$

prej nga del:

$A^{-1}=\frac{adjA}{\det A}$.

Në bazë të relacionit (36) vërtetohet formula:

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$. (...38)

Shembuj

Të gjendet matrica inverse e matricës

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -3& 1\\ 3& -4& 5\\ 3& -5& -1\end{array}\right]$

Stampa:Z g j i d h j e Njehsojmë: $\det A=-1$,

$adjA=\left[\begin{array}{ccc}-29& 8& 11\\ -18& 5& 7\\ 3& -1& -1\end{array}\right]$

dhe aplikojmë formulën (37):

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}29& -8& -11\\ 18& -5& -7\\ -3& 1& 1\end{array}\right]$

Tani mund të verifikohet edhe formula (36): $A{A}^{-1}=A^{-1}A=E$.

Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare