Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit
Stampa:StyllaAlgjebraepërgjithëshme
Stampa:DygishtaLe të jenë Stampa:Mate dy grupe dhe Stampa:Mate pasqyrimi bashkësisë i Stampa:Mate në bashkësinë Stampa:Mate. Thuhet se grupet Stampa:Mate dhe Stampa:Mate janë homomorfe, kurse pasqyrimiStampa:Mate homorfizëm i grupit Stampa:Mate në grupin Stampa:Mate, nëse (fig. 1.17.):
Stampa:DygishtaKur Stampa:Mate, Stampa:Mate quhet homomorfizëm i grupit Stampa:Mate mbi grupin Stampa:Mate ose homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.).
- Fig. 1.18. Fig. 1.17.
Stampa:DygishtaNëse Stampa:Mate dhe Stampa:Mate janë elementet neutrale të grupeve homomorfe Stampa:Mate dhe Stampa:Mate, atëherë kemi:
| Stampa:Mate | Stampa:Mate, |
| Stampa:Mate |
- çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit Stampa:Mate është element neutral i grupit Stampa:Mate.
Stampa:T e o r e m a Stampa:V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:
| Stampa:Dygishta | (1) Stampa:Mate . |
Stampa:Mate Stampa:Mate, ku Stampa:Mate; |
| Stampa:Dygishta | (2) Stampa:Mate | Stampa:Mate. |
Stampa:DygishtaDuke shfrytëzuar këto formula marrim:
| Stampa:Dygishta | Stampa:Mate | Stampa:Mate |
- dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
Stampa:DygishtaHomomorfizmi injektiv i grupit Stampa:Mate në grupin Stampa:Mate quhet izomorfizëm i Stampa:Mate në Stampa:Mate (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi Stampa:Mate është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i Stampa:Mate mbi Stampa:Mate quhet izomorfizëm i Stampa:Mate mbi Stampa:Mate dhe thuhet se grupet Stampa:Mate, Stampa:Mate janë izomorfe ndërmjet tyre. Stampa:DygishtaTë konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
- Fig. 1.20.
Stampa:T e o r e m a Stampa:DygishtaKjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo ! Stampa:S h e m b u l l i Të shohim grupet Stampa:Mate dhe Stampa:Mate pasqyrimin e Stampa:Mate në Stampa:Mate që përcaktohet me formulën:
Stampa:DygishtaMeqë vlen:
- themi se Stampa:Mate janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi Stampa:Mate homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi Stampa:Mate është izomorfizëm.
Fig. 1.19.