Hipi Zhdripi i Matematikës/5

AbshisaStampa:Në

---

      Nga latinishtja në kuptimin E premja, E ndara. Është rrafshi i sistemit kordinativ, kordinata e parë $x_1$ e një pike të dhënë me çiften {$x_1;y_1$}. $y_2$ në latinisht quhet ordinata e pikës. Zakonisht për emërtimin e brinjëve anësore përdoren shprehja boshti, anësorja apo brinja .

ShpalosjaStampa:Në

---

      Shpalosja është vizatimi i një objekti në hapësirën dy dimesionale ashtu që kur të bashkohen pikat e caktuar e japin objektin. Vizatimet e tilla paraqesin një rrjetë të trupave. Disa trupa mund të kenë rrjeta të ndryshme po që i përgjigjen një trupi. Si p.sh shpalosja e një kubi mund të bëhet në rrjeta të ndryshme. Në figurën 2 janë paraqitur rrjetat e një piramide.

Skeda:Kubi000.PNG	Skeda:Kubi002.PNG	Skeda:Kubi003.PNG	Skeda:Piramida000.PNG
Fig 1 Shpalosja e kubit			Fig 2 Shpalosja e Piramidës

---

Shpalosjet janë bazat e ndërtimit të trupave gjeometrik nga letra. Pasi që rrjeta e shpalosur e një anije është shumë e ngatërruar rami i rrjetave të trupave përbërës të anijes lyhet me një ngjitës, ashtu që kur të nxiten gjitha pjesët e japin anijen. Me ndihmën e figurave 1 dhe 2 mund të ndërtoshtë një kub (zarë) dhe një piramidë.

---

NumërimiStampa:Në

---

Fig 1 : Çiftet e bashkërenditura të bashkësisë N x N Fig 1 : Çiftet e bashkërenditura të bashkësisë N x N

      Është pasqyrimi i kthyeshëm dhe i vetëm i një bashkësie të pafundme $𝕄$ në bashkësinë e numrave natyralë $\mathbb{N}$. Po që se ekziston një pasqyrim i tillë atëherë secili element i bashkësisë $𝕄$ bartë vetëm një numër, dhe çdo numër është numër rendorë i elementeve të bashkësisë $𝕄$. Elementet e bashkësisë $𝕄$ duhet të jenë të identifikueshme me numrin e tyre.

Shembull 1

      Le të shohim Bashkësinë $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, d.m.th bashkësia e gjitha pikave-nyje (çifteve të renditura) të rrjetës së ndërtuar mbi sistemin kordinativ. Pikat-nyje mund të numërohen si në figurën 1.

      Radhitja në listë e këtij numërimi fillon si vijon:

$1\iff (1,1)$	$5\iff (1,3)$	$9\iff (3,1)$
$2\iff (2,1)$	$6\iff (2,3)$	$10\iff (4,1)$
$3\iff (2,2)$	$7\iff (3,3)$	$11\iff (4,2)$
$4\iff (1,2)$	$8\iff (3,2)$	$12\iff (4,3)$

      Një bashkësi e pafundme $𝕄$ quhet e numërueshme nëse ekziston një pasqyrim i një kuptimtë nga $𝕄$ në $\mathbb{N}$. Kështu pra bashkësia $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ është e numërueshme.

---

Përkufizimi i numërimit ndihmon për të kuptuar bashkësitë e pafundme por që janë të numërueshme sepse ka bashkësi që nuk "mund" apo jo që janë vetëm të pa fundme por edhe të panumërueshme. Me shprehjen e përkufizuar për numërimin e bashkësive dallohen llojet e bashkësive të pafundme. Me këtë qëllim përdoret edhe termi numri karderizian apo çiftet e renditura.

---

Fig 2 : Çiftet e bashkërenditura Fig 2 : Çiftet e bashkërenditura

Fig 3 : Çiftet e bashkërenditura të bashkësisë Z x Z Fig 3 : Çiftet e bashkërenditura të bashkësisë Z x Z

      Nëse bashkësia $𝕄$ është e numërueshme, atëherë ka pa kufi mënyra për ta numëruar atë bashkësi. Një mundësi tjetër për të numëruar bashkësinë $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ është paraqitur në figurën 2.

      Bashkësia $\mathbb{Z}$ e numrave të plotë, po ashtu është e numërueshme. Një numërim i saj është edhe ky:

$0\iff 1$
$+1\iff 2$	$-1\iff 3$
$+2\iff 4$	$-2\iff 5$
$+3\iff 6$	$-3\iff 7$
$⋮$	$⋮$
$+n\iff 2n$	$-n\iff 2n+1$
$⋮$	$⋮$

      Po ashtu edhe bashkësia e çifteve të renditura të numrave të plotë (d.m.th $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$) është e numërueshme, siç është paraqitur në grafikun Fig 3.

      Edhe bashkësia e thyesave është e numërueshme. Ky përfundim mund ë nxirret nga Fig 1 dhe Fig 2: e paraqesim çiftin e renditur {$𝑎,𝑏$} si thyesë $\frac{a}{b}$ dhe gjatë numërimit i përjashtojmë (kapërcejmë) gjitha thyesat për të cilat $𝑎,𝑏$ nuk janë përkatëse (pjesë e njohur).

      Me këtë mund të shihet se edhe bashkësia $\mathit{\phi }$ e numrave racional është e numërueshme. Kjo po ashtu pa ndonjë ndihmë mund të shihet në Fig 1 dhe Fig 2: I shkruajmë numrat racional si thyesa të numrave të plotë, ku emëruesi është pozitiv dhe numëruesi e emëruesi nuk janë plotpjesëtueshëm.

      Atëherë me Larësin e numrit racional $\frac{z}{n}$ ($z\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}$) kuptojmë, numrin natyrorë $\mid z\mid +n$. Tani të numërojmë radhët sipas numrave racional të Lartësisë 1, Lartësisë 2, Lartësisë 3 e me radhë. Pasi që secili numër racional ka vetëm Lartësi të fundme dhe çdo Lartësi ka vetëm numër të kufizuar të numrave racional kështu merr secili numër racional një numër të saktë.

$Lart\ddot{e}sia1:$	;$\frac{0}{1}$	$Numr\ddot{e}r1$(e para)
$Lart\ddot{e}sia2:$	$\frac{-1}{1},\frac{1}{1}$	$Numrat2,3$
$Lart\ddot{e}sia3:$	$\frac{-2}{1},\frac{-1}{2},\frac{1}{2},\frac{2}{1}$	$Numrat4-7$
$Lart\ddot{e}sia4:$	$\frac{-3}{1},\frac{-1}{3},\frac{1}{3},\frac{3}{1}$	$Numrat18-11$
$Lart\ddot{e}sia5:$	$\frac{-4}{1},\frac{-3}{2},\frac{-2}{3},\frac{-1}{4},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1}$	$Numrat12-19$
$Lart\ddot{e}sia6:$	$\frac{-5}{1},\frac{-1}{5},\frac{1}{5},\frac{5}{1}\cdots$	$Numri20-23$

      Edhe bashkësitë e nën bashkësive të fundme të $\mathbb{N}$ janë të numërueshme. Kështu së pari i klasifikojmë nën bashkësitë sipas elementit më të madh dhe pastaj ju japim numrat me radhë:

$Numri1$	:	$bashk\ddot{e}siboshe$
$Numri2$	:	$\left\{1\right\}$
$Numri3,4$	:	$\left\{2\right\},\{1,2\}$
$Numri5,6,7,8$	:	$\left\{2\right\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}$

      Mirëpo bashkësia e të gjitha nën bashkësive të $\mathbb{N}$ nuk është e numërueshme, siç vërtetohet. Bashkësitë e tilla quhen Bashkësi të sipër numërueshme apo shkurt bashkësi të sipërme. Një bashkësi e tillë është edhe bashkësia $ℝ$ e numrave real.

---

Një shembull: Jashtë galaksisë gjendet Hoteli "Transfinal", i cili ka pa kufi dhoma por të numërueshme. Hoteli është i mbushu për plotë nuk ka më vend. Pastaj vije një grup me 100 turistë që dëshirojnë në Hotel. Portieri i Hotelit ju thotë atyre se nëse lëvizin më tej do të sigurojë edhe 100 dhoma për ta. D.m.th pas dhomës n në dhomat n+100. Pas një kohe vije edhe një shoqatë e madhe me pa kufi turistë të numërueshëm (që mund të nxehen). Tani shtrohet pyetja si mund të ju siguroi dhoma këtyre Portieri? Për të pas çdo turistë dhomën e vetë duhet që të pranojnë të marrin dhomat me numër të dyfishtë. D.m.th nga dhoma n në dhomat 2n. Kështu kjo shoqatë zë pa kufi dhoma me numra çift të numërueshëm, ndërsa Hotelit i mbeten të zbrazëta pa kufi dhoma të me numra të dyfishtë tekë.       Sipas një autori të fantazive shkencore nga Polonia STANISLAW LEM.

---

Stampa:Faqe puno dhe pershtati fatos zekolli