Hipi Zhdripi i Matematikës/1287

nga marrim: $f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dy}$, respektivisht se derivati i funksionit është i barabartë

Fig. 7.22.

me herësin e diferencialit të funksionit me diferencialin e argumentit.

Stampa:Dygishta Interpretimi gjeometrik i diferencialit të funksionit është i lidhur me tangjenten në grafikun e tij. Për këtë qëllim le të marrim në grafikun e funksionit $y=f(x)$ një pikë $M(x,y)$ nëpër të cilën është tërhequr tangjentja $MT$ (fig. 7.22.). Këndin që formon kjo tangjente me boshtin e abshisave e shënojmë me $\alpha$, ku $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =f^{\prime }(x)$. Kur $x$-i merrë shtesën. $\mathrm{\Delta }x(=M_1{N}_1)$, shtesa përkatëse e funksionit është $\mathrm{\Delta }y=PN$, ndërsa shtesa e ordinatës së tangientes $MT$ është $PQ$. Nga trekëndëshi kënddrejtë $MPQ$ e përcaktojmë vlerën e kësaj shtese: $PQ=MP\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$. Meqenëse $MP=M_1{N}_1=\mathrm{\Delta }x$ dhe $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =f^{\prime }(x)$, do të kemi:

$PQ=f^{\prime }(x)\mathrm{\Delta }x\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}PQ=dy$.

Pra, konkludojmë: diferenciali i funksionit $y=f(x)$ në pikën $x$ është i barabartë me shtesën e ordinatës së tangjentes në grafikun e tij në këtë pikë.

3.10.1. Vetitë themelore të diferencialit dhe aplikimi i tij në njehsime të përafërta

Stampa:Dygishta Pasi që diferenciali i funksionit $y=f(x)$ në pikën $x$ përcaktohet me formulën (65a), konkludojmë se të gjitha teoremat e paraqitura në pikat e mëparshme lidhur me derivatin e funksioneve dhe rregullat e derivimit vlejnë edhe për diferencialin e funksionit. Kështu, për shembull. kemi:

Stampa:Dygishta 1 ° $\begin{array}{cc}d(u+v-w)& =(u+v-w{)}^{\prime }dx=u^{\prime }dx+v^{\prime }dx-w^{\prime }dx=\\ & =du+dv-dw;\end{array}$

Stampa:Dygishta 2 ° $d(uv)=(uv{)}^{\prime }dx=v(u^{\prime }dx)+u(v^{\prime }dx)=vdu+udv$;

Stampa:Dygishta 3° $d(a^u)=(a^u{)}^{\prime }dx=(a^u\ln a)u^{\prime }dx=a^u\ln a\cdot du$;

Stampa:Dygishta 4° $d(\sin u)=(\sin u{)}^{\prime }dx=\cos u{u}^{\prime }dx=\cos udu$; etj.

Stampa:Dygishta Më parë kemi theksuar se për vlera pambarimisht të vogëla të shtesës së argumentit $\mathrm{\Delta }x$, ndryshimi $\mathrm{\Delta }y-dy$ është madhësi pambarimisht e vogël e rendit më të lartë se $\mathrm{\Delta }x$. Nga kjo del se për vlera mjaft të vogla të shtesëN

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta