Hipi Zhdripi i Matematikës/1285

$Oxyz$. Le të supozojmë këtu se koordinatat e këtij vektori janë funksione të parametrit $t$ ($t$ paraqet kohën), pra: $x=x(t)$, $y=y(t)$ dhe $z=z(t)$. Nga këto

del se $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t)$, ku me ndryshimin e parametrit $t$, ndryshohet intensiteti dhe drejtimi i vektorit $\overrightarrow{r}(t)$, prandaj themi se $\overrightarrow{r}(t)$ është një funksion vektorial prej argumentit skalar $t$. Derivati i këtij funksioni vektorial sipas parametrit (kohës) $t$ përcaktohet me formulën:

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}={\overrightarrow{r}}_t=x{\text{'}}_t\overrightarrow{i}+y{\text{'}}_t\overrightarrow{j}+z{\text{'}}_t\overrightarrow{k}$. (64)

Stampa:S h e m b u l l i Të vërtetohet se këndi ndërmjet tangjentes së spirales logaritmike $r=m{e}^{a\theta }(m,a=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t})$ dhe radius vektorit të saj është konstante.

Stampa:Z g j i d h j e Njehsojmë $r_{\theta }=ma{e}^{a\theta }$ dhe këtë vlerë zëvendësojmë në formulën (63):

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\phi =\frac{r{\text{'}}_{\theta }}{r}=\frac{ma{e}^{a\theta }}{m{e}^{a\theta }}=a$

prej nga marrim : $\phi =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}a=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.}$

3.9. TABELA E FORMULAVE DHE RREGULLAVE THEMELORE TË DERIVIMIT

1. $\left(c\right)=0$ 2. $\left(x\right)=1$ 3. $\left(cu\right)=c{u}^{\prime }$ 4. $(u+v-w)=u^{\prime }+v^{\prime }-w^{\prime }$ 5. $\left(uv\right)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 6. $\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ 7. $y{\text{'}}_x=y^{\prime }\cdot u{\text{'}}_x$ 8. $y{\text{'}}_x=\frac{1}{x{\text{'}}_y}$ 9. $y{\text{'}}_x=\frac{y{\text{'}}_t(t)}{x{\text{'}}_t(t)}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$ 10. $[F(x,y)=0]\Rightarrow F{\text{'}}_x+F{\text{'}}_y\cdot y^{\prime }=0$ 11. $\left(u^a\right)=a{u}^{a-1}{u}^{\prime }$ 12. $\left(\frac{c}{u}\right)=-\frac{c{u}^{\prime }}{u^2}$ 13. $\left(\sqrt{u}\right)=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ 14. $\left({\log }_{a}u\right)=\frac{u^{\prime }}{u}{\log }_{a}e$

15. $(\ln u)=\frac{u^{\prime }}{u}$ 16. $\left(a^n\right)=a^n\ln a\cdot u^{\prime }$ 17. $\left(e^n\right)=e^u{u}^{\prime }$ 18. $(\sin u)=\cos u\cdot u^{\prime }$ 19. $(\cos u)=-\sin u\cdot u^{\prime }$ 20. $\left(\mathrm{t}\mathrm{g}u\right)=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}$ 21. $\left(\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}u\right)=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$ 22. $(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\sin u)=\frac{u^{\prime }}{\sqrt{1-u^2}},|u|<1$ 23. $(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos u)=-\frac{u^{\prime }}{\sqrt{1-u^2}},|u|<1$ 24. $\left(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}u\right)=\frac{u^{\prime }}{1+u^2}$ 25. $\left(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}u\right)=-\frac{u^{\prime }}{1+u^2}$ 26. $\left(u^v\right)=v{u}^{v-1}{u}^{\prime }+u^v{v}^{\prime }\ln u$