Hipi Zhdripi i Matematikës/1284

3.8. INTERPRETIMI GJEOMETRIK I DERIVATIT TË RADIUS-VEKTORIT SIPAS KËNDIT POLAR DHE DERIVATI I VEKTORIT TË POZITËS SIPAS KOHËS

Stampa:Dygishta Le të jetë dhënë ekuacioni i lakores $l$ në sistemin koordinativ polar

Fig. 7.21.

$r=f(\theta )$. (62)

Stampa:Dygishta Formulat për transformimin e koordinatave polare në koordinata karteziane të cilësdo pikë $M(r,\theta )$ të kësaj lakoreje shprehen:

$x=f(\theta )\cos \theta ,y=f(\theta )\sin \theta$. (62a)

Këto formula njëherit paraqesin ekuacionet parametrike të lakores $l$, ku këndi polar $\theta$ është parametri (fig. 7.21.).

Stampa:Dygishta Shënojmë me $\alpha$ këndin që formon tangjenta $MT$ e lakores $l$ në pikën $M(r,\theta )$ me boshtin polar $Ox$. Koeficienti i drejtimit të kësaj tangjentje mund të shprehet në këtë mënyrë (shih form. (34)):

$\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta }}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta }}=\frac{y{\text{'}}_{\theta }}{x{\text{'}}_{\theta }}=\frac{r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta }{r^{\prime }\sin \theta -r\cos \theta }.$ (34a)

Stampa:Dygishta Shënojmë me $\phi$ këndin ndërmjet radius-vektorit $r$ dhe tangjentes $MT$, ku $\phi =\alpha -\theta$, ndërsa

$\mathrm{t}\mathrm{g}\phi =\frac{\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha -\mathrm{t}\mathrm{g}\theta }{1+\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \mathrm{t}\mathrm{g}\theta }.$

Kur në këtë formulë e zëvendësojmë shprehjen (34a) për $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$, marrim:

$\mathrm{t}\mathrm{g}\phi =\frac{(r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta )\cos \theta -(r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta )\sin \theta }{(r^{\prime }\cos \theta -r\sin \theta )\cos \theta +(r^{\prime }\sin \theta +r\cos \theta )\sin \theta }=\frac{r}{r^{\prime }}$,

prej nga del:

$r{\text{'}}_{\theta }=r\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\phi$. (63)

Stampa:Dygishta Në bazë të kësaj formule mund të interpretojmë gjeometrikisht derivatin e radius-vektorit sipas këndit polar, pra:

Stampa:Dygishta Derivati i radius-vektorit sipas këndit polar është i barabartë me prodhimin e gjatësisë së atij radiusi me kotangensin e këndit ndërmjet tij dhe tangjentes së lakores në pikën e dhënë.

Stampa:Dygishta Në kap. V p. 3.2. me $\overrightarrow{r}(x,y,z)$ ose $\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ kemi shënuar vektorin e pozitës së pikës korente $M(x,y,z)$ lidhur me sistemin koordinativ kartezian

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta