Hipi Zhdripi i Matematikës/1283

3.7. DERIVIMI LOGARITMIK

Stampa:Dygishta Në ca raste, për të thjeshtësuar veprimin e derivimit të funksionit, më parë atë e transformojmë. Kështu veprojmë kur njehsojmë derivatin e logaritmit të prodhimit, herësit, fuqisë dhe derivatin e logaritmit të rrënjës. Në disa raste tjera, para se të derivojmë funksionin, më parë atë e logaritmojmë. Kjo metodë e njehsimit të derivatit të funksionit quhet metodë e derivimit logaritmik. Kështu, me metodën e derivimit logaritmik përcaktohet derivati i funksionit të përbërë eksponencial $y=u^v$,ku $u=f(x)$, $v=g(x)$.

Stampa:T e o r e m a, pra:

$(u^v{)}^{\prime }=v{u}^{v-1}{u}^{\prime }+u^v{v}^{\prime }\ln u$. (61)

Stampa:V ë r t e t i m E logaritmojmë dhe pastaj e derivojmë barazinë $y=u^v$:

$\frac{y^{\prime }}{y}=v\frac{u^{\prime }}{u}+v^{\prime }\ln u\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{y}^{\prime }=y(v\frac{u^{\prime }}{u}+v^{\prime }\ln u)$

ku, pas zëvendësimit $y=u^v$, del:

$y^{\prime }=u^v(v\frac{u^{\prime }}{u}+v^{\prime }\ln u)=v{u}^{v-1}{u}^{\prime }+u^v{v}^{\prime }\ln u=u$.

Stampa:Dygishta Nga kjo formulë shihet se derivati i funksionit të përbërë eksponencial $y=u^v$ përbëhet prej dy mbledhësve, ku:

Stampa:Dygishta - mbledhësi i parë $v{u}^{v-1}{u}^{\prime }$ përftohet kur funksioni i dhënë derivohet sipas argumentit ndërmjetës $u$, duke trajtuar $v$ si konstante (d.m.th. $u^v$ merret si funksion fuqi); kurse

Stampa:Dygishta - mbledhësi i dytë $u^v{v}^{\prime }\ln u$ përftohet kur funksioni i dhënë derivohet sipas argumentit ndërmjetës $v$, duke trajtuar $u$ si konstante (d.m.th. $u^v$ merret si funksion eksponencial).

Stampa:S h e m b u l l i Derivati i funksionit $y=(\sin x{)}^{\cos x}$ është:

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\cos x(\sin x{)}^{\cos x-1}(\sin x{)}^{\prime }+(\sin x{)}^{\cos x}(\cos x{)}^{\prime }\ln \cos x=\\ & =(\sin x{)}^{\cos x-1}[{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\ln \cos x]\end{array}$.

Stampa:S h e m b u l l i Derivati i funksionit $y=(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{x^2}$ është:

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =x^2(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{x^2-1}(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{\prime }+(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{x^2}(x^2{)}^{\prime }\ln \mathrm{t}\mathrm{g}x=\cdots =\\ & =x(\mathrm{t}\mathrm{g}x{)}^{x^2}[\frac{x}{\sin x\cos x}+2\ln \mathrm{t}\mathrm{g}x].\end{array}$