Hipi Zhdripi i Matematikës/1278

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Vlera kufitare e këtij raporti, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, është:

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\cdot {\log }_a{(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})}^{x/\mathrm{\Delta }x}=\\ & =\frac{1}{x}\cdot {\log }_a\left[\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})}^{x/\mathrm{\Delta }x}\right]=\frac{1}{x}\cdot {\log }_{a}e\end{array}$

Stampa:Dygishta Pra, konkludojmë: $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}{\log }_{a}e$.

Stampa:Dygishta S h ë n i m: Deri te formula (50) mund të vijmë edhe duke shfrytëzuar formulën (45) për derivatin e funksionit invers. Vërtet, pasi funksioni invers i funksionit logaritmik $y={\log }_{a}x$ është funksioni eksponencial $y=a^x$, andaj marrim:

$y^{\prime }\frac{1}{(a^y){\text{'}}_y}=\frac{1}{a^y\ln a}=\frac{1}{x\ln a}=\frac{1}{x}{\log }_{a}e,$

meqenëse: $a^y=a^{\log x}=x$ dhe $\ln a\cdot {\log }_{a}e=1$.

Stampa:Dygishta Kur $a=e$, formula (50) merrë trajtën:

$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$. (51)

Stampa:Dygishta Kur në formulat (50) dhe (5 1) argumentin e trajtojmë si argument ndërmjetës dhe e shënojmë me $u$, përftohet:

$({\log }_{a}u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}{\log }_{a}e$ (50a) dhe $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$. (51 a)

Stampa:S h e m b u l l i Derivati i funksionit $y={\log }_a(x^2+1)$ është:

$y^{\prime }=[{\log }_a(x^2+1)]=\frac{(x^2+1{)}^{\prime }}{x^2+1}{\log }_{a}e=\frac{2x}{x^2+1}{\log }_{a}e$.

Stampa:T e o r e m a, pra:

$(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a{-}_1},a\in ℝ$. (52)

Stampa:V ë r t e t i m Këte formulë kemi vërtetuar për $a\in \mathbb{N}$ (formula (39a)). Tani do të tregojmë se ajo vlen edhe kur eksponenti i fuqisë është çfarëdo një numër real.

Stampa:Dygishta Le të supozojmë se $x>0$. Logaritmojmë dhe pastaj derivojmë funksionin e dhënë.

$\ln y=a\ln x\Rightarrow \frac{y^{\prime }}{y}=a\frac{1}{x}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{y}^{\prime }=\frac{a}{x}y$.

Kur zëvendësojmë $y=x^a$ del: $y^{\prime }=\frac{a}{x}{x}^a=a{x}^{a-1}$.