Hipi Zhdripi i Matematikës/1277

Tash duhet të vërtetojmë se limiti i fundit është i barabartë me

\ln a

, pra:

\begin{matrix} \lim_{Δ x \to 0} \frac{a^{Δ x} - 1}{Δ x} & = | \begin{matrix} Z \ddot{e} v e n d : a^{Δ x} - 1 = y \Rightarrow Δ x \ln a = \ln (1 + y) \\ y \to 0 k u r Δ x \to 0 \end{matrix} | = \\ = \lim_{y \to 0} \frac{\ln (1 + y)}{\ln a} = \ln a \cdot \lim_{y \to 0} \frac{1}{\ln (1 + y)^{1 / y}} \\ = \ln a \cdot \frac{1}{\ln [\lim_{y \to 0} (1 + y)^{1 / y}]} = \ln a \frac{1}{\ln e} = \ln a \end{matrix}

Stampa:Dygishta Pra, konkludojmë: $(a^{x})^{'} = a^{x} \ln a$ .

Stampa:Dygishta Kur $a = e$ , kjo formulë merrë trajtën:

(e^{x})^{'} = e^{x}

, (49)

çka do të thotë se: derivati i funksionit eksponencial natyror $y = e^{x}$ është i barabartë me vetveten.

Stampa:Dygishta Kur në formulat (48) dhe (49) argumentin konsiderojmë si argument ndërmjetës dhe e shënojmë me $u$ , del:

(a^{u})^{'} = a^{u} \ln a \cdot u^{'}

(48a) dhe

(e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}

. (49a)

Stampa:S h e m b u l l iDerivati i funksionit $y = a^{x^{2}} e^{3 x}$ është:

\begin{matrix} y^{'} = (a^{x^{2}} e^{3 x})^{'} & = (a^{x^{2}})^{'} e^{3 x} + a^{x^{2}} (e^{3 x})^{'} = 2 x a^{x^{2}} e^{3 x} \ln a + 3 a^{x^{2}} e^{3 x} = \\ = a^{x^{2}} e^{3 x} (2 x \ln a + 3) \end{matrix}

.

(\log_{a} x)^{'} = \frac{1}{x} \log_{a} e

. (50)

Stampa:V ë r t e t i m Këtu shtesës së argumentit $Δ x$ i përgjigjet shtesa e funksionit

Δ y = \log_{a} (x + Δ x) - \log_{a} x = \log_{a} (1 + \frac{Δ x}{x})

ku raporti i këtyre shtesave është:

\begin{matrix} \frac{Δ y}{Δ x} & = \log_{a} {(1 + \frac{Δ x}{x})}^{1 / Δ x} = \frac{\log_{a} (1 + \frac{Δ x}{x})}{Δ x} = \\ = \log_{a} {[{(1 + \frac{Δ x}{x})}^{x / Δ x}]}^{1 / x} = \frac{1}{x} \cdot \log_{a} {(1 + \frac{Δ x}{x})}^{x / Δ x} . \end{matrix}

Menuja e navigimit