Hipi Zhdripi i Matematikës/1276

3.5. DERIVATI I FUNKSIONIT TË DHËNË NË FORMËN IMPLICITE

Stampa:Dygishta Le të jetë dhënë funksioni në formën implicite

$F(x,y)=0$. (18)

Derivati i një funksioni të këtillë përcaktohet në këtë mënyrë:

Stampa:Dygishta - Derivohet ana e majtë e barazimit (18), duke trajtuar $y$-in si funksion, $x$-in si argument dhe shprehja e përftuar barazohet me zero, pra:

$F{\text{'}}_x+F{\text{'}}_y\cdot y=0$. (47)

Këtu $F{\text{'}}_x$ paraqet derivatin e funksionit $F(x,y)$ sipas variablit $x$, ku përkohësisht $y$-i merret si madhësi konstante, kurse $F{\text{'}}_y$ paraqet derivatin e atij funksioni sipas variablit $y$, ku $x$-i trajtohet si madhësi konstante.

Stampa:Dygishta - Ekuacioni (47) zgjidhet sipas derivatit $y$:

$y=-\frac{F{\text{'}}_x}{F{\text{'}}_y}$ (47a)

ku ana e djathtë është një funksion i formës implicite ndaj variablave $x$, $y$.

Stampa:Dygishta Këto formula mundësojnë njehsimin e derivatit të funksionit (18) pa e sjell më parë atë në formën eksplicite.

Stampa:Dygishta P.sh., derivati i funksionit $x^{2}y+3x{y}^2+5x-2y-1=0$ është:

$(x^{2}y+3x{y}^2+5x-2y-1){\text{'}}_x+(x^{2}y+3xy2+5x-2y-1){\text{'}}_y\cdot y^{\prime }=0$

ose

$(2xy+3y^2+5)+(x^2+6xy-2)\cdot y=0$

prej nga del $y^{\prime }=\frac{2xy+3y^2+5}{x^2+6xy-2}$.

3.6. DERIVATET E FUNKSIONEVE ELEMENTARE THEMELORE

Stampa:T e o r e m a, pra

$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$. (48)

Stampa:V ë r t e t i m Këtu shtesës së argumentit $\mathrm{\Delta }x$ i përgjigjet shtesa e funksionit

$\mathrm{\Delta }y=a^{x\mathrm{\Delta }x}-a^x=a^x(a^{\mathrm{\Delta }x}-1)$, ku raporti i këtyre shtesave është:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=a^x\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}$.

Vlera kufitare e këtij raporti, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, shprehet:

$y^{\prime }=(a^x{)}^{\prime }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{a}^x\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}=a^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}$.