Hipi Zhdripi i Matematikës/1273

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Pra, konkludojmë se formula (42) është e saktë.

Stampa:Dygishta P.sh.$\begin{array}{cc}\left(\frac{x^2+3}{2x-1}\right)& =\frac{(x^2+3{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}\\ & =\frac{2(x^2-x-3)}{(2x-1{)}^2}.\end{array}$

Stampa:Dygishta S h e n i m : Kur $u(x)=c(=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t})$, formula (42) merr këtë trajtë

$\left(\frac{c}{v}\right)=-\frac{c{v}^{\prime }}{v^2},c=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$. (42a)

3.3. DERIVATI I FUNKSIONIT TË PËRBËRË DHE I FUNKSIONIT INVERS

Stampa:Dygishta Le të jenë $y=f(u)$ dhe $u=g(x)$ dy funksione të derivueshme në pikën $u$, përkatësisht $x$, kurse $y=fg(x)$ një funksion i përbërë.

Stampa:T e o r e m a, pra:

$\left\{f[g(x)]\right\}=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ (43)

Stampa:V ë r t e t i m Le të supozojmë se argumenti $x$ i funksionit të përbërë e merr shtesën $\mathrm{\Delta }x$. Kësaj shtese i korrespondon shtesa e argumentit ndërmjetës $\mathrm{\Delta }u=g(x+\mathrm{\Delta }x)-g(x)$, ndërkaq, shtesës $\mathrm{\Delta }u$ i përgjigjet shtesa e funksionit $\mathrm{\Delta }y=f(u+\mathrm{\Delta }u)-f(u)$, ku $\mathrm{\Delta }u\to 0$ dhe $\mathrm{\Delta }y\to 0$ kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$.

Stampa:Dygishta Le të marrim tani se $\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }u}=f(u)$, prej nga, në bazë të teoremës 2.3.6., del :

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }u}=f^{\prime }(u)+\alpha$, (44)

ku $\alpha \to 0$, kur $\mathrm{\Delta }u\to 0$. Kur këtë barazi e shumëzojmë me $\mathrm{\Delta }u$ dhe pastaj e pjesëtojmë me $\mathrm{\Delta }x$, del:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(u)\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}+\alpha \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}$

vlera kufitare e të cilit, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, është:

$\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(u)\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\alpha \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}=\\ & =f^{\prime }(u)\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\alpha \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}=\\ & =f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x),\end{array}$