Hipi Zhdripi i Matematikës/1267

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Le të supozojmë tani se $\mathrm{\Delta }x\to 0$. Kjo implikon që edhe $\mathrm{\Delta }y\to 0$, gjë që pika $N$ gjithnjë e më tepër i afrohet pikës $M$. Në këto rrethana sekanta $MN$ ndërron pozitën e saj duke u rrotulluar rreth pikës $M$. Nëse ekziston drejtëza $MT$, e cila paraqet pozitën kufitare të sekantes $MN$, kur $N\to M$ nëpër grafikun e funksionit $y=f(x)$, kjo drejtëz quhet tangjentja e grafikut të këtij funksioni në pikën $M$. Koeficienti i drejtimit të kësaj tangjentje është:

$\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=f(x_0)$ (34)

Stampa:Dygishta Pra, konkludojmë:

Stampa:Dygishta Nëse funksioni $y=f(x)$ është i derivueshëm në pikën $x_0$, në këtë pikë ekziston tangjentja në grafikun (diagramin) e tij, ku vlera e derivatit është e barabartë me koeficientin e drejtimit të tangjentes.

Stampa:Dygishta Në bazë të këtyre të dhënave del se ekuacioni i tangjentes dhe ekuacioni i normales (ortogonales) në grafikun e funksionit $y=f(x)$ në pikën $M(x_0,f(x_0))$ - si ekuacione të drejtëzës nëpër një pikë - kanë trajtën:

$y-f(x_0)=f(x_0)(x-x_0)$ (35)

dhe

$y-f(x_0)=-\frac{1}{f(x_0)}(x-x_0)$. (36)

Stampa:Dygishta Në anën tjetër, meqenëse shpejtësia e ndërrimit të funksionit $y=f(x)$ pasqyrohet edhe në këndin e tangjentes në grafikun e tij, derivati i funksionit shpreh edhe shpejtësinë e ndërrimit (rritjes, zvogëlimit) të funksionit. Pra, derivati i funksionit ka edhe domethënie kinetike. Vërtet, pasi që në lëvizjen e një pike materiale rruga $s$ është në funksion të kohës, d.m.th. $s=f(t)$, shpejtësia mesatare shprehet me formulën:

$v_m=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{f(t+\mathrm{\Delta }t)-f(t)}{\mathrm{\Delta }t}$.

Vlera kufitare e këtij herësi, kur $\mathrm{\Delta }t\to 0$, quhet shpejtësi e çastit dhe shënohet:

$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{f(t+\mathrm{\Delta }t)-f(t)}{\mathrm{\Delta }t}=s(t)$ (37)

Pra, konkludojmë:

Stampa:Dygishta Shpejtësia e çastit në lëvizjen e një pike materiale është e barabartë me derivatin e rrugës për kohën.

Stampa:Dygishta Në raste kur në pikën $a$ nuk ekziston limiti i raportit $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$, kur $\mathrm{\Delta }x\to 0$, thuhet se funksioni $y=f(x)$ nuk është i derivueshëm në këtë pikë.

Stampa:V ë r t e t i m Nga hipoteza e teoremës kemi:

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(a)$