Hipi Zhdripi i Matematikës/1263

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.7.1.4. - Pika $a$ quhet pikë thelbësore e këputjes së llojit të dytë, nëse në pikën $a$ ose nuk ekziston ose është i pafundëm të paktën një limit i njëanshëm i funksionit $y=f(x)$.[1]

Stampa:S h e m b u l l i Të shqyrtohet vazhdueshmëria e funksionit

$y=\frac{\sqrt{x+15}-3}{x^2-36}$.

Stampa:Z g j i d h j e Ky funksion është i vazhdueshëm në intervalin $[-15,+\mathrm{\infty })$, përpos në pikat $x=6$ dhe $x=-6$. Së pari funksionin e dhënë e transformojmë në trajtën:

$\frac{\sqrt{x+15}-3}{x^2-36}=\frac{x+6}{(x^2-36)(\sqrt{x+15}+3)}=\frac{1}{(x-6)(\sqrt{x+15}+3)}$

nga del:

$\underset{x\to 6^{+0}}{\lim }\frac{\sqrt{x+15}-3}{x^2-36}=\underset{x\to 6^{+0}}{\lim }\frac{1}{(x-6)(\sqrt{x+15}+3)}=+\mathrm{\infty }$

kurse

$\underset{x\to 6^{-0}}{\lim }\frac{\sqrt{x+15}-3}{x^2-36}=\underset{x\to 6^{-0}}{\lim }\frac{1}{(x-6)(\sqrt{x+15}+3)}=-\mathrm{\infty }$

Pra, nuk ekziston limiti i këtij funksioni në pikën $x=6$. Kjo pikë është pika thelbësore e këputjes së Ilojit të dytë të këtij funksioni.

Stampa:Dygishta Ndërkaq, pasi:

$\underset{x\to -6}{\lim }\frac{\sqrt{x+15}-3}{x^2-36}=\underset{x\to -6}{\lim }\frac{1}{(x-6)(\sqrt{x+15}+3)}=-\frac{1}{72}$

dhe ngase funksioni i dhënë nuk është i përkufizuar në pikën $x=-6$, konkludojmë se $x=-6$ është një pikë e mënjanueshme e këputjes së këtij funksioni. Kur ligjin e varësisë funksionale të këtij funksioni e zgjerojmë dhe këtë e përkufizojmë me relacionin:

$y=\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{x+15}-3}{x^2-36}& ,-15⩽x<+\mathrm{\infty },x\ne -6\\ -\frac{1}{72}& ,x=-6\end{array}$

atëherë ky funksion është i vazhdueshëm në pikën $x=-6$.

2.7.2. VETITË E FUNKSIONEVE TË VAZHDUESHME

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta