Hipi Zhdripi i Matematikës/1262

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Z g j i d h j e Mënyra e parë: Meqenëse:

$\begin{array}{ccc}(\mathrm{\forall }x\in ℝ)\underset{h\to 0}{\lim }\cos (x+h)& =\underset{h\to 0}{\lim }(\cos x\cos h-\sin x\sin h)& \\ & =\cos x\underset{h\to 0}{\lim }\cos h-\sin x\underset{h\to 0}{\lim }\sin h\\ & =\cos x\cos 0-\sin x\sin 0=\cos x,\end{array}$

konkludojmë se funksioni $y=\cos x$ është i vazhdueshëm në $ℝ$.

Stampa:Dygishta Mënyra e dytë: Meqenëse:

$\begin{array}{cc}(\mathrm{\forall }x\in ℝ)\underset{h\to 0}{\lim }\mathrm{\Delta }y& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[\cos (x+\mathrm{\Delta }x)-\cos x]\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }[-2\sin (x+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2})\sin \frac{\mathrm{\Delta }x}{2}]\\ & =-2\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sin (x+\frac{\mathrm{\Delta }x}{2})\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sin \frac{\mathrm{\Delta }x}{2}\\ & =-2-(\sin x)\cdot 0=0,\end{array}$

konkludojmë se funksioni $y=\cos x$ është i vazhdueshëm në $ℝ$.

2.7.1. PIKAT E KËPUTJES DHE KLASIFIKIMI I TYRE

Stampa:Dygishta Në pikën e mëparshme thamë se funksioni $y=f(x)$ quhet i vazhdueshëm në pikën $a$, nëse plotësohen konditat 1°-3°. Në qoftë se cenohet të paktën njëra prej këtyre konditave, thuhet se funksioni $y=.f(x)$ nuk është i vazhdueshëm në këtë pikë dhe pika $a$ quhet pikë e këputjes (e diskontinuitetit) së atij funksioni, pra

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.7.1.1. - Pika a quhet pikë e këputjes së funksionit nëse .funksioni është i përcaktuar në rrethinën e pikës $a$, por nuk është i vazhdueshëm në pikën $a$.[1]

Stampa:Dygishta Pikat e këputjes së funksionit ndahen në pikat jothelbësore ose të niënjanueshme të këputjes dhe në pikat thelbësore të këputjes.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.7.1.2. - Pika a quhet pikë jothelbësore e këputjes, ncse funksioni $y=f(x)$ në pikën a ka limite të njëanshme të fundme. Në të qjitha rastet tjera pika $a$ quhet pikë thelbësore e këputjes.[2]

Stampa:Dygishta Pika jothelbësore e këputjes quhet edhe pikë e këputjes së rendit parë, ndërsa pika thelbosore e këputjes quhet pikë e këputjes së rendit dytë.

Stampa:Dygishta Pika jothelbësore e këputjes së funksionit mund të kthehet në pikë vazhdueshmërie, kur ligji i varësisë funksiortale $f$ plotësohet në atë mënyrë që vlera e funksionit në këtë pikë barazohet me limitin e funksionit.

Stampa:Dygishta Pikat thelbësore të këputjes ndahen në pikat thelbësore të llojit të parë dhe të llojit të dytë.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.7.1.3. - Pika a quhet pikë tlelbësore e këputjes së llojit të parë, nëse funksioni $y=f(x)$ në pikën $a$ ka limite të njeanshme, por me vlera të ndryshme[3], pra: $.f(a-0)\ne f(a+0)$.

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta