Hipi Zhdripi i Matematikës/1258

Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x$.

Stampa:Z g j i d h j e Në p. 1.4. kemi pare se limiti i kësaj shprehjeje është i barabartë me numrin iracional $e$, kur numri $x$ tenton në infinit nëpër vargun e numrave natyralë. Tani do të tregojmë se vlera e limitit nuk ndryshohet, kur $x$ tenton në infinit nëpër bashkësinë e numrave realë. Vërtet, meqenëse çdo numër real $x(>1)$ ndodhet ndërmjet dy numrave të njëpasnjëshëm natyrale $n$, $n+1$, del:

$\frac{1}{n+1}⩽\frac{1}{x}<\frac{1}{n}\Rightarrow 1+\frac{1}{n+1}⩽1+\frac{1}{n}<1+\frac{1}{n}\Rightarrow {(1+\frac{1}{n+1})}^x⩽{(1+\frac{1}{x})}^x<{(1+\frac{1}{n})}^x$

prej nga del:${(1+\frac{1}{n+1})}^n<{(1+\frac{1}{x})}^x<{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$ ose

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n+1})}^n<\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$

Ngase $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n+1})}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n+1})}^{n+1}\cdot \frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n+1})}=e$; dhe

Stampa:Dygishta $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n})n+1=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n})=e$,

konkludojmë se $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$.

Stampa:Dygishta S h e n i m: 1° $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$; 2° $\underset{x\to 0}{\lim }{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e$

Formula e parë vërtetohet duke shfrytëzuar zëvendësimin $x=-(t+1)$, kurse e dyte zëvendësimin $x=\frac{1}{t}$. Provoni këto pohime!

Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)}^{x+1}$

Stampa:Z g j i d h j e Meqenëse

${\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)}^{x+1}={(1+\frac{2}{2x+1})}^{x+1}={\left[{(1+\frac{2}{2x+1})}^{\frac{2x+1}{2}}\right]}^{\frac{2(x+1)}{2x+1}}$, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)}^{x+1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left[{(1+\frac{2}{2x+1})}^{\frac{2x+1}{2}}\right]}^{\frac{2(x+1)}{2x+1}}=e^{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2(x+1)}{2x+1}}=e$.

Stampa:S h e m b u l l i Të paraqitet grafiku i funksionit

$y=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x+1}{x^{2n}-1}$

-

dhe të njehsohet limiti i majtë dhe i djathtë në pikat $x=1$ dhe $x=-1$.

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta