Hipi Zhdripi i Matematikës/1255

i korrespondon vargu i vlerave të funksionit $y=f(x):f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_n),\dots$ Tani themi:

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  2.6.4. - Numri $b$ quhet limit i funksionit $y=f(x)$, kur $x\to a$, nëse vargut $(x_n)$ të vlerave të argumentit $x$, ku $x_n\to a$, kur $n\to \mathrm{\infty }$, i korrespondon vargu i vlerave të funksionit $(f(x_n))$ i tillë që

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=b$.

[1]

Stampa:Dygishta Ky fakt simbolikisht shënohet $\underset{n\to a}{\lim }f(x)=b$.

Stampa:Dygishta Pra, meqen

$\underset{x+a}{\lim }f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)$,

konkludojmë se të gjitha teoremat e paraqitura në p. 1.2. dhe p. 1.3. lidhur me limitin e vargut të pafundëm numerik dhe teoremat për limite vlejnë edhe për limitin e funksionit. Kështu, kur ekziston $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ dhe $\underset{x\to a}{\lim }g(x)$, atëherë:

Stampa:Dygishta 1 ° $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\pm \underset{x\to a}{\lim }g(x)$; (7b)

Stampa:Dygishta 2 ° $\underset{x\to a}{\lim }[cf(x)]=c\underset{x\to a}{\lim }f(x),c=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$; (8b)

Stampa:Dygishta 3 ° $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim }g(x)$; (8c)

Stampa:Dygishta 4 ° $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }f(x)}{\underset{x\to a}{\lim }g(x)}$; (9b)

Stampa:Dygishta 5 ° $\underset{x\to a}{\lim }{[f(x)]}^{g(x)}={[\underset{x\to a}{\lim }f(x)]}^{\underset{x\to a}{\lim }g(x)}$ dhe (12a)

Stampa:Dygishta 6 ° $(\mathrm{\forall }x\in X)\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f\left(\underset{x\to a}{\lim }x\right)$, (13a)

ku $y=f(x)$ është funksion elementar themelor.

Stampa:V ë r t e t i m Hipotezat e kësaj teoreme janë:

Stampa:Dygishta 1 ° funksionet $f(x)$, $g(x)$ dhe $h(x)$ janë të përcaktuara në rrethinën e numrit $a$, ku $f(x)<g(x)<h(x)$ dhe

Stampa:Dygishta 2° $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=b$.

Stampa:Dygishta Teza e teoremës është se ekziston $\underset{x\to a}{\lim }g(x)$ dhe $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=b$.

Stampa:Dygishta Nga supozimet $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=b$ rrjedh se për çdo numër pozitiv $\epsilon >0$ ekziston rrethina $(a-\delta ,a+\delta )$ e numrit $a$ e tillë që

$|f(x)-b|<\epsilon \mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{e}|h(x)-b|<\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta$

ose

$b-\epsilon <f(x)<b+\epsilon \mathrm{d}\mathrm{h}\mathrm{e}b-\epsilon <h(x)<b+\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-a|<\delta$.