Hipi Zhdripi i Matematikës/1253

ndërkaq, nëse ajo konditë plotësohet, kur $0<a-x<\delta$, numri $b$ quhet limit i majtë i funksionit $f(x)$ dhe shënohet:

$\underset{x\to a^{-0}}{\lim }f(x)=b\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\underset{n\to a^{-0}}{\lim }f(x)=f(x-0)$. (27a)

Fig. 7.14.

Stampa:Dygishta Pra, thuhet se ekziston limiti i funksionit $y=f(x)$ në pikën $x=a$, nëse ekziston edhe limiti i majtë edhe limiti i djathtë dhe nëse ato limite janë të barabarta:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b\stackrel{p\ddot{e}rk}{\iff }f(x-0)=f(x+0)=b$ (28)

Stampa:Dygishta Të shohim ilustrimin gjeometrik të vlerës kufitare të funksionit $y=f(x)$ kur $x\to a$. Shikojmë grafikun e këtij funksioni në intervalin e ndryshimit të $y$ që përcaktohet me jobarazinë e dyfishtë $b-\epsilon <y<b+\epsilon$ (fig. 7.16.). Drejtëzat $d:y=b-\epsilon$ dhe $d_2:y=b+\epsilon$ e prejnë grafkun e funksionit $y=f(x)$ në pikat $A_1$ dhe $A_2$. Këtyre pikave në boshtin $Ox$ u korrespondojnë numrat $x_1=a-{\delta }_1$ dhe $x_2=a+{\delta }_2$. Shënojmë me $\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$. Nga këto të dhëna konkludohet: nëse numri $b$ është vlera kufitare e funksionit $y=f(x)$, kur $x\to a$, atëherë për çdo $\epsilon >0$, ekziston numri $\delta$ i tillë që grafiku i funksionit $y=f(x)$ kufizohet në zonën $b-\epsilon <y<b+\epsilon$, kur $a-\delta <x<a+\delta (x\ne a)$.

Stampa:S h e m b u l l i Të provohet se $\underset{x\to 1}{\lim }(5x-2)=3$.

Stampa:Z g j i d h j e Duhet treguar se për çdo $\epsilon >0$, sado i vogël qoftë numri $\epsilon$, ekziston numri pozitiv $\delta (=\delta (\epsilon ))$ i tillë që

$|(5x-2)-3|<\epsilon \mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-1|<\delta$

Stampa:Dygishta Vërtet, nga jobarazia $|(5x-2)-3|<\epsilon$ përftohet

$|x-1|<\frac{\epsilon }{5}=\delta (\epsilon )$,

prandaj themi se

$|(5x-2)-3|<\epsilon ,\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}0<|x-1|<\frac{\epsilon }{5}$,

çka do të thotë se $\underset{x\to 1}{\lim }(5x-2)=3$.