Hipi Zhdripi i Matematikës/1240

1.5. MADHËSITË PAMBARIMISHT TË MËDHA DHE PAMBARIMISHT TË VOGLA

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  1.5.1. - Numri $a$ quhet limiti i madhësisë variabile $x$, nëse vlerat e variablit $x:x_n(n=1,2,\dots )$ formojnë vargun konvergjent ${\left(x_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{k}\mathrm{u}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$.[1]

Stampa:Dygishta Ky fakt simbolikisht shënohet

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }x=a\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}x\to a$

dhe lexohet: limit $x$ barazi me $a$, ose $x$-si tendon në $a$.

Stampa:Dygishta Meqenëse madhësia konstante $c$ mund të konsiderohet si madhësi variabile $x$, ku $x_n=c(n=1,2,...)$, konkludojmë se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }c=c$.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  1.5.2. - Madhësia variabile $x$, vlerat e së cilës $x_n(n=1,2,\dots )$ formojnë një varg pambarimisht të madh $(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\mathrm{\infty })$, quhet madhësi pambarimisht e madhe dhe shënohet

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }x=\mathrm{\infty }\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}x\to \mathrm{\infty }$.

[2]

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  1.5.3. - Madhësia variabile $x$, vlerat e së cilës $x_n(n=1,2,\dots )$ formojnë një varg pambarimisht të vogël $(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=0)$, quhet madhësi pambarimisht e vogël ose madhësi infinitezimale dhe shënohet

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }x=0\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}x\to 0$.

[3]

Stampa:Dygishta Le të marrim dy madhësi $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ $x$ dhe $y$. Kur:

Stampa:Dygishta 1°

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=c,0\ne c\in \mathrm{R}$

(15)

themi se madhësitë $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ $x$, janë të rendit të njëjtë. Kur $c=1$, ato madhësi janë ekuivalente dhe shënohen $x\sim y$;

Stampa:Dygishta 2°

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=0$

, (15a)

themi se madhësia $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ $x$ është e rendit më të lartë se madhësia $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ $y$, më saktësisht se: infinitezimalja $x$ është e rendit $k(>1)$ ndaj infinitezimales $y$, nëse

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{{\left(y_n\right)}^k}=c,0\ne c\in ℝ$ (15b)

Stampa:Dygishta 3°

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\mathrm{\infty }$

, (15c)

themi se madhësia $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ $x$ është e rendit më të ulët se madhësia $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ $y$, respektivisht infinitezimalja $x$ është e rendit $k(0<k<1)$ ndaj infinitezimales $y$, nëse plotësohet kondita (15b) dhe

Stampa:Dygishta 4° Kur nuk ekziston as $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}$, as $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{y_n}{x_n}$, themi se madhësitë $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ $x$, $y$ janë të pakrahasueshme.