Hipi Zhdripi i Matematikës/1238

konstatojmë se $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})a_{n+1}>a_n$, çka do të thotë se vargu i dhënë është monoton rritës.

Stampa:Dygishta Pra, vargu i dhënë është i kufizuar dhe monoton rritës, prandaj - në bazë të teoremës së Bolzano - Weierstrassit - konkludojmë se është varg konvergjent.

1.4. NUMRI $e$

Stampa:Dygishta Marrim vargun $(a_n)$ me kufizën e përgjithshme $a_n={(1+\frac{1}{n})}^n$. Në bazë të teoremës së Bolzano- Weierstrassit mund të provojmë se ky varg është konvergjent.

Stampa:Dygishta Vërtet, kufizatën $a_n$ dhe $a_{n+1}$ e zhvillojmë sipas formulës binomiale të Newtonit: $\begin{array}{cc}{a}_n& ={(1+\frac{1}{n})}^n=1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})\frac{1}{n}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})\frac{1}{n^2}+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})\frac{1}{n^n}\\ & =1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\cdots +\frac{1}{n!}& [(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots \\ & & \cdots (1-\frac{n-1}{n})]\end{array}$

dhe (veprojmë në mënyrë analoge):

$\begin{array}{cc}{a}_{n+1}& =1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+\cdots +\\ & +\cdots +\frac{1}{(n+1)!}[(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{n}{n+1})]\end{array}$

Stampa:Dygishta Mbledhësit e kufizës $a_{n+1}$, janë më të mëdhenj se mbledhësit përkatës të kufizës $a_n$, sepse

$(\mathrm{\forall }n,k\in \mathbb{N},k<n)1-\frac{k}{n+1}>1-\frac{k}{n}$.

Përveç kësaj, kufiza $a_{n+1}$, ka një mbledhës më tepër se kufiza $a_n$, prandaj del se $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})a_{n+1}>a_n$, çka do të thotë se vargu i dhënë është monoton rritës.

Stampa:Dygishta Ky varg është edhe i kufizuar. Vërtet, pasi:

$(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})\cdots (1-\frac{k}{n})<1,\mathrm{\forall }k=1,2,\dots ,n-1$

dhe

$k!>2^{k-1},2<\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$,

për kufizën e përgjishme $a_n$ vlen relacioni:

$a_n<1+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}})$.