Hipi Zhdripi i Matematikës/1237

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Pasi $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{\sqrt[3]{1+n^2}}=1$, konkludojmë se relacioni i dhënë është i saktë.

Stampa:S h e m b u l l i Të provohet se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{k=2}^n(1-\frac{1}{k^2})=\frac{1}{2}$.

Stampa:Z g j i d h j e Produktin e dhënë e shprehim:

$\begin{array}{cc}\prod _{k=2}^n(1-\frac{1}{k^2})& =\prod _{k=2}^n\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\\ & =(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2})(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3})\cdots (\frac{n-2}{n-1}\cdot \frac{n}{n-1})(\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n+1}{n})=\\ & =\frac{1}{2}(\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3})(\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4})\cdots (\frac{n}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n})\cdot \frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n},\end{array}$

prandaj del:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{k=2}^n(1-\frac{1}{k^2})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n})=\frac{1}{2}$.

Stampa:S h e m b u l l i Të provohet se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n}=1$.

Stampa:Z g j i d h j e E shkruajmë se $\sqrt[n]{n}=1+h$, ku $h>0$.

Stampa:Dygishta Nga kjo barazi marrim : $n=(1+h{)}^n$ ose

Stampa:Dygishta $n=1+nh+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})h^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})h^3+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})h^{n-1}+h^n$.

Siç shihet, pra:

$\frac{n}{2}>(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})h^2\Rightarrow 1>\frac{n-1}{2}{h}^2\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}h<\sqrt{\frac{2}{n-1}}$.

Meqenëse $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{\frac{2}{n-1}}=0$, konkludojmë:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+h)=1+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }h=1$.

Stampa:S h e m b u l l i Të provohet se ${\left(\prod _{k=1}^n\frac{1}{2^k+1}\right)}_{n=1}$ është varg komvergjent.

Stampa:Z g j i d h j e Meqenëse:

$a_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^k+1}<\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^n}\sum _{k=1}^n{2}^{k-1}=\frac{1}{2^n}(2^n-1)=1-\frac{1}{2^n}<1$

d.m.th. $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})a_n<1$, konkludojmë se vargu i dhënë është i kufizuar.

Stampa:Dygishta Pasi kufiza $a_{n+1}$ mund të shprehet në këtë mënyrë:

$a_{n+1}=\sum _{k=1}^{n+1}\frac{1}{2^k+1}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^{n+1}+1}=a_n+\frac{1}{2^{n+1}+1}$

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta