Hipi Zhdripi i Matematikës/1235

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Formulat që shprehin rregullat për \limitin e fuqisë, rrënjës dhe logaritmin e vargjeve konvergjente janë:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n{)}^k=(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n{)}^k,\mathrm{k}\mathrm{u}k>0,a_n>0,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

(12)

dhe

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{(b)}{a}_n={\log }_{(b)}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n),a_n>0,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. (13)

Stampa:S h e m b u l l i Është dhënë vargu numerik: $\frac{1}{2},\frac{5}{4},\frac{7}{8},\frac{17}{16},\cdots$ Të caktohet $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$. Sa duhet të jetë numri $n$ në mënyrë që ndryshimin dërmjet kufizës së përgjithshme dhe vlerës kufitare të vargut të mos jetë më i madh se $10^{-4}$?

Stampa:Z g j i d h j e Kufiza e përgjithshme e këtij vargu është

$a_n=\frac{2^n+(-1{)}^n}{2^n}$,

kurse limiti i tij

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^n+(-1{)}^n}{2^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^n[1+(-2{)}^{-n}]}{2^n}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[1+{(-\frac{1}{2})}^n]=1+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(-\frac{1}{2})}^n=1\end{array}$

Stampa:Dygishta Nga jobarazia

$|a_n-a|<10^{-4}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\left|\frac{2^n+(-1{)}^n}{2^n}\right|<10^{-4}$

e gjejmë numrin $n$:

$\left|\frac{(-1{)}^n}{2^n}\right|<10^{-4}\Rightarrow \frac{1}{2^n}<10^{-4}\Rightarrow n>\frac{4}{\log 2}⩾14$.

Stampa:S h e m b u l l i Të caktohet limiti i vargut, kufiza e përgjithshme e të cilit është $a_n=\frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+3)!}$.

Stampa:Z g j i d h j e Ngase

$a_n=\frac{(n+1)![(n+2)+1]}{(n+3)(n+2)(n+1)!}=\frac{n+3}{(n+3)(n+2)}=\frac{1}{n+2}$

marrim:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+3)!}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n+2}=0$

Stampa:S h e m b u l l i Të caktohet limiti i vargut, kufiza e përgjithshme e të cilit është $a_n=\frac{1+2^{-1}+2^{-2}+\cdots +2^{-n}}{1+3^{-1}+3^{-2}+\cdots +3^{-n}}$.