Hipi Zhdripi i Matematikës/1230

kufizat e tij. Pikërisht kjo arrihet me të ashtuquajturin kriter i përgjithshëm i Cauchyt për konvergjencën e vargut i cili pohon se:

Stampa:DygishtaKushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që vargu $(a_n)$ të konvergjojë është që për çdo $\epsilon >0$ të ekzistojë një numër natyral $\mathbb{N}(=\mathbb{N}(\epsilon ))$ i tillë që

$(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|a_{n+p}-a_n|<\epsilon$, $p$ - numër natyral. (5)

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  1.2.3. - Vargu $(a_n)$, limiti i të cilit është zero $(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0)$, quhet varg pambarimisht i vogël (shkurt shënohet: $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$) ose zero-varg.[1]

Stampa:DygishtaP.sh. ${\left(\frac{1}{n}\right)}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ është një varg $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$. Kuptohet, çdo varg $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$ është varg konvergjent, por e anasjellta nuk vlen. Kështu, ${\left(\frac{2n-1}{5n+3}\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ është varg konvergjent, por nuk është $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{v}$.

Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  1.2.4. - Varga $(a_n)$ quhet varg pambarimishr i madh (shënohet: $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{m}$), nëse për çdo numër $m$, sado i nzadh qoftë numri $m$, ekziston numri natyral $\mathbb{N}$ i tillë që

$(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|a_n|>m$. (6)

[2]

Stampa:DygishtaKy fakt simbolikisht shënohet: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\mathrm{\infty }$.

Stampa:DygishtaP.sh. $(n^2{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, është një varg $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{m}$. Kuptohet. çdo varg $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{m}$ është edhe varg divergjent, por e anasjellta nuk vlen. Kështu. $(1^n+(-1{)}^n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, është varg divergjent, por nuk është $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{m}$.

Stampa:DygishtaNuk duhet ngatërruar as konceptin e vargut $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{m}$ me atë të vargut të pakufizuar. Çdo varg $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{m}$ është edhe i pakufizuar, por e kundërta ngandonjëherë nuk vlen. Kështu, $(3^{n-1}+(-3{)}^{n-1}{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ , është varg i pakufizuar, por nuk është $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{m}$.

Stampa:V ë r t e t i m Kur $(a_n)$ është varg $\mathrm{p}\mathrm{m}\mathrm{m}$, sipas përkufizimit 1.2.4., për çdo numër $m(=\frac{1}{\epsilon })$ , sado i madh qoftë numri $m$ (respektivisht sado i vogël qoftë numri $\epsilon$), ekzistcn numri natyral $\mathbb{N}$ i tillë që

$(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|a_n|>m\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|a_n|>\frac{1}{\epsilon }$

Stampa:DygishtaKur marrim vlerat reciproke të anëve në jobarazinë e fundit, përftojmë jobarazinë

$(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})\left|\frac{1}{a_n}\right|<\epsilon \mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}(\mathrm{\forall }n>\mathbb{N})|\frac{1}{a_n}-0|<\epsilon$.