Hipi Zhdripi i Matematikës/1202

ndërsa forma kanonike e ekuacioneve

$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{7}=\frac{z-5}{-1}$.

Stampa:Dygishta 2. Të gjendet ekuacioni i planit që kalon nëpër pikën $M_1(2,5-3)$ dhe është komplanarë me vektorët $\overrightarrow{a}(2,1,3)$ dhe ${\overrightarrow{a}}_2(0,-2,5)$. Stampa:Z g j i d h j e Ekuacioni i planit të kërkuar është

$(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1)\cdot \overrightarrow{a}=0,\text{ku}\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_1\times {\overrightarrow{a}}_2$,

ndërsa forma skalare e tij

$\begin{array}{ccc}x-2& y-5& z+3\\ 2& 1& 3\\ 0& -2& 5\end{array}=0\text{ose}11x-10y-4z+14=0$.

Stampa:Dygishta 3. Të gjendet ekuacioni i planit që përmban pikën $M_1(1,-1,2)$ dhe drejtëzën $𝐝$:

$\frac{x+2}{3}=\frac{y--3}{2}=\frac{z-1}{4}$.

Stampa:Z g j i d h j e Plani i kërkuar përmban pikat $M_1(1,-1,2)$, $M_2(-2,3,l)$ dhe është paralel me vektorin $\overrightarrow{a}(3,2,4)$. Prandaj, vektorët $\overrightarrow{M_{1}M}(=\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1)$, $\overrightarrow{M_1{M}_2}(={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1)$ dhe a janë komplanarë, ndërsa ekuacioni i planit shprehet me formulën

$(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1)\times ({\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1)\cdot \overrightarrow{a}=0$

që në trajtën skalare duket

$\begin{array}{ccc}x-1& y+1& z-2\\ -3& 4& -1\\ 3& 2& 4\end{array}=0\text{ose}2x+y-2z+3=0$.

Stampa:Dygishta 4. Të gjendet ekuacioni i planit $\alpha$, i cili kalon nëpër pikën $M_1(2,-1,3)$ dhe është normal në planet

${\alpha }_1:x+2y-3z+5=0\text{dhe}{\alpha }_2:2x-3y+z-1=0$.

Stampa:Z g j i d h j e Ngase plani $\alpha$ është normal në planet ${\alpha }_1$ dhe ${\alpha }_2$, rrjedh që ai duhet të jetë paralel me vektorët

$\overrightarrow{a}(1,2,-3)\text{dhe}{\overrightarrow{a}}_2(2,-3,1)$,

respektivisht se vektori $\overrightarrow{a}$ normal në planin $\alpha$ shprehet me $\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}_1\times {\overrightarrow{a}}_2$. Kur të shfrytëzohet edhe shënimi se plani $\alpha$ kalon nëpër pikën $M_1$, përftohet ekuacioni i tij:

$(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1)\cdot \overrightarrow{a}=0\text{ose}(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1)\cdot ({\overrightarrow{a}}_1\times {\overrightarrow{a}}_2)=0$