Hipi Zhdripi i Matematikës/1188

ku $\lambda$ është një skalar që ndryshohet në intervalin $-\mathrm{\infty }<\lambda <+\mathrm{\infty }$. Ky relacion paraqet ekuacionin e tufës së planeve. Varësisht prej vlerave që i japim skalarit $\lambda$ në ekuacionin (23), marrim ekuacionet e planeve përkatëse të tufës së planeve.

Stampa:Dygishta Ekuacioni (23) i tufës së planeve shpesh shprehet në këtë trajtë

$\overrightarrow{r}\cdot ({\overrightarrow{a}}_1+\lambda {\overrightarrow{a}}_2)=b_1+b_2$. (...23a)

Stampa:Dygishta Trajta skalare e ekuacionit të tufës së planeve është

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0$, (...24)

ose

$(A_1+\lambda A_2)x+(B_1+\lambda B_2)y+(C_1+\lambda C_2)z+(D_1+\lambda D_2)=0$. (...24a)

Stampa:S h e m b u l l i Të gjendet ekuacioni i planit $\delta$ i cili kalon nëpër prerjen e planeve

$\alpha :\overrightarrow{r}\cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k})=2\text{dhe}\beta :\overrightarrow{r}(5\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k})=5$

dhe është normal në planin $\gamma :\overrightarrow{r}.(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})=1$.

Stampa:Z g j i d h j e Nga tufa e planeve (23a) duhet ta zgjedhim atë plan vektori normal i të cilit është normal në vektorin normal të planit $\gamma$, pra $({\overrightarrow{a}}_1+\lambda {\overrightarrow{a}}_2)\perp {\overrightarrow{a}}_3$. Nga kjo konditë del relacioni i barazisë

$({\overrightarrow{a}}_1+\lambda {\overrightarrow{a}}_2)\cdot {\overrightarrow{a}}_3=0$.

Meqenëse: ${\overrightarrow{a}}_1+\lambda {\overrightarrow{a}}_2=(1+5\lambda )\overrightarrow{i}+(1-\lambda )\overrightarrow{j}-(1+\lambda )\overrightarrow{k}$, ndërsa $a_3=\overrightarrow{i}\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$, prandaj kemi

$[(1+5\lambda )\overrightarrow{i}+(1-\lambda )\overrightarrow{j}-(1+\lambda )\overrightarrow{k}]\cdot (\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})=0$

prej nga del $\lambda =\frac{1}{5}$.

Stampa:Dygishta Pra, ekuacioni i planit të kërkuar është

$\delta :\overrightarrow{r}\cdot (2\overrightarrow{i}+\frac{4}{5}\overrightarrow{j}-\frac{6}{5}\overrightarrow{k})=3$.

3. DREJTËZA

3.1. DREJTËZA SI PRERJE E DY PLANEVE

Stampa:Dygishta Në p. 1.1. konstatuam se lakorja $𝐋$ në hapësirë paraget pikat e përbashkëta të dy sipërfaqeve ${𝐒}_1:f_1(x,y,z)=0$ dhe ${𝐒}_2:f_2(x,y,z)=0$. Në bazë të kësaj thuhet se drejtëza $𝐝$ në hapësirë paraqet pikat e përbashkëta të dy