Hipi Zhdripi i Matematikës/1187

2.6. EKUACIONI I PLANIT NËPËR TRI PIKA JOKOLINEARE

Stampa:Dygishta Le të marrim në planin $\alpha$ tri pika jokolineare $M_1(x_1,y_1,z_1),M3(x_3,y_3,z_3)$. Shënojmë me ${\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,{\overrightarrow{r}}_3$ vektorët e pozitës së këtyre pikave,

Fig. 6.11.

ndërsa me $\overrightarrow{r}$ vektorin e pozitës së pikës korente $M$ të planit $\alpha$ (fig. 6.11.). Nga këto të dhëna del se

$\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_3-{\overrightarrow{r}}_1$

janë tre vektorë komplanarë, prandaj

$[(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_1)\times ({\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1)]\cdot ({\overrightarrow{r}}_3-{\overrightarrow{r}}_1)=0$. (...22)

Kjo formulë paraget formën vektoriale të ekuacionit të planit nëpër tri pika jokolineare. Trajta skalore e këtij ckuacioni shprehet kështu:

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$ (...22a)

Stampa:S h e m b u l l i Të gjendet ekuacioni i planit që kalon nëpër pikat: $M_1(2,4,8),M_2(-3,1,5),M_3(6,-2,7)$. Stampa:Z g j i d h j e Shfrytëzojmë formulën (22a)

$\left|\begin{array}{ccc}x-2& y-4& z-8\\ -5& -3& -3\\ 4& -6& -1\end{array}\right|=0$

prej nga marrim

$15x+17y-42z+238=0$.

2.7. EKUACIONI I TUFËS SË PLANEVE

Stampa:Dygishta Bashkësia e planeve me një drejtëz të përbashkët quhet tufa e planeve. Ekuacioni i tufës së planeve përcaktohet në këtë mënyrë: Stampa:Dygishta Marrim se janë dhënë dy plane joparalele me ekuacionet

$\alpha :\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{a}}_1=b_1\text{dhe}\beta :\overrightarrow{r}.a_2=b_2,\text{ku}{\overrightarrow{a}}_1\ne m{\overrightarrow{a}}_2$.

Stampa:Dygishta Drejtëzën e prerjes së këtyre planeve e shënojmë me $𝐝$. Supozojmë se pika $M(x,y,z)$ - vektori i pozitës së cilës është $\overrightarrow{r}(x,y,z)$ - është pika korente e drejtëzës $𝐝$. Nga ky supozim rrjedh se vektori i pozitës $\overrightarrow{r}$ e redukon ekuacionet e planeve të dhëna $\alpha$ dhe $\beta$ në formula të sakta prandaj, ky vektor e redukon në formulë të saktë edhe ekuacionin vektorial

$(\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{a}}_1-b_1)+\lambda (\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{a}}_2-b_2)=0$, (...23)