Hipi Zhdripi i Matematikës/1183

ose

${\overrightarrow{r}}_1\cdot {\overrightarrow{a}}_0=p+d\cos (\overrightarrow{M_2{M}_1},{\overrightarrow{a}}_0)$ ($\divideontimes$)

sepse ${\overrightarrow{r}}_2\cdot {\overrightarrow{a}}_0=p$, ndërsa $|\overrightarrow{M_2{M}_1}{\overrightarrow{a}}_0|=|\overrightarrow{M_2{M}_1}|=d$. Mirëpo, meqë $\overrightarrow{M_2{M}_1}\Vert {\overrightarrow{a}}_0$, prandaj

$\cos (\overrightarrow{M_2{M}_1},{\overrightarrow{a}}_0)=\{\begin{array}{c}1,\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{e}}\mathrm{t}\overrightarrow{M_2{M}_1},{\overrightarrow{a}}_0\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{n}\ddot{\mathrm{e}}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\ddot{\mathrm{e}}\mathrm{n}\mathrm{j}\ddot{\mathrm{e}}\mathrm{j}\mathrm{t}\mathrm{a};\\ -1,\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\ddot{\mathrm{e}}\mathrm{t}\overrightarrow{M_2{M}_1},{\overrightarrow{a}}_0\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{n}\ddot{\mathrm{e}}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\ddot{\mathrm{e}}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\ddot{\mathrm{e}}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}.\end{array}$

Stampa:Dygishta Në bazë të këtyre të dhënave, nga relacioni ($\divideontimes$) marrim formulën

$d=\pm ({\overrightarrow{r}}_1\cdot {\overrightarrow{a}}_0-p)$ (...15)

për distancën e pikës $M_1$ prej planit $\alpha$, ku parashenja +, respektivisht - tregon se pika $M_1$ dhe origjina $0$ e sistemit koordinativ ndodhen në anë të njëjta, respektivisht të kundërta ndaj planit $\alpha$.

Stampa:Dygishta Mirëpo, formula (15) shpesh jepet në trajtën

$d=|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{a}}_0-p|$ (...15a)

ose

$d=|x_1\cos \alpha +y_1\cos \beta +z_1\cos \gamma -p|$, (...15b)

me të cilën njehsohet distanca e pikës $M_1$ prej planit $\alpha$, pa e përcaktuar pozitën reciproke të pikave $M_1$ dhe $0$ ndaj planit $\alpha$.

Stampa:Dygishta Kur plani $\alpha$ jepet me ekuacionin (12) ose (12a), distanca përcaktohet me formulën:

$d=\left|\frac{{\overrightarrow{r}}_1\overrightarrow{a}-b}{\pm |\overrightarrow{a}|}\right|$ (...15c)

respektivisht formulën

$d=\left|\frac{A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D}{\pm \sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|$. (...15d)

Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet distanca e pikave $M_1(2,1,1)$ dhe $M_2(-5,0,1)$ prej planit $\alpha :2x+2y-z-2=0$. Stampa:Z g j i d h j e Aplikojmë formulën (15) edhe gjejmë: $d_1=1$, ndërsa $d_2=-\frac{13}{3}$.

2.2.2. KËNDI NDËRMJET DY PLANEVE

Stampa:Dygishta Le të jenë dhënë dy plane

$\alpha :\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{a}}_1=b_1\text{dhe}\beta :\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{a}}_2=b_1$.

Këndi ndërmjet planeve $\alpha$ dhe $\beta$ është këndi ndërmjet vektorëve të tyre ${\overrightarrow{a}}_1$ dhe ${\overrightarrow{a}}_2$:

$\sphericalangle (\alpha ,\beta )=\sphericalangle ({\overrightarrow{a}}_1,{\overrightarrow{a}}_2)=\phi$ ,

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta