Hipi Zhdripi i Matematikës/1161

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Pra, konkludojmë: vëllimi i paralelopipedit të ndërtuar mbi vektorët $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ përcaktohet me

$V=\pm \left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|$. (...28a)

Stampa:Dygishta Kur $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}=0$, ku $\overrightarrow{a}\ne 0$, $\overrightarrow{b}\ne 0$, atëherë vektorët $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ janë komplanarë. Pra, kushti që tre vektorë të jenë komplanarë shprehet me

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|=0$. (...29)

Stampa:Dygishta Për prodhimin e përzier të vektorëve vlejnë këto ligje: Stampa:Dygishta 1°. $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}=(\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}$,

d.m.th. me permutimin ciklik të vektorëve në prodhimin e përzier, vlera e prodhimit nuk ndryshohet.

Stampa:Dygishta Saktësia e këtij ligji rezulton nga shpjegimi gjeometrik i domethënies së prodhimit të përzier të tre vektorëve. Stampa:Dygishta 2°.$(m\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\times m\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=(a\times \overrightarrow{b})\cdot m\overrightarrow{c}=m(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c},$

d.m.th. prodhimi i përzier është veprim asociativ ndaj faktorit skalar.

Stampa:Dygishta 3°. Ligji distributiv:

$[({\overrightarrow{a}}_1+{\overrightarrow{a}}_2)\times \overrightarrow{b}].\overrightarrow{c}=({\overrightarrow{a}}_1\times \overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}+({\overrightarrow{a}}_2\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}$ $[a\times ({\overrightarrow{b}}_1+{\overrightarrow{b}}_2)]\cdot \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\times {\overrightarrow{b}}_1)\cdot \overrightarrow{c}+(\overrightarrow{a}\times {\overrightarrow{b}}_2)\cdot \overrightarrow{c}$, $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot ({\overrightarrow{c}}_1+{\overrightarrow{c}}_2)=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot {\overrightarrow{c}}_1+(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot {\overrightarrow{c}}_2$.

Stampa:S h e m b u l l i Të njehsohet vëllimi dhe të tri lartësitë e paralelopipedit të ndërtuar mbi vektorët $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$. Stampa:Z g j i d h j e Duke shfrytëzuar formulën (28a) marrim

$V=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& 2& -1\\ 1& 3& 1\end{array}\right|=-2$,

çka do të thotë se reperi i këtyre vektorëve majtë.

Stampa:Dygishta Lartësitë e paralelopipedit janë

$h_1=\overrightarrow{\frac{(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|}}=\sqrt{2},h_2=\frac{(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}|}=\frac{\sqrt{2}}{5},h_3=\frac{\sqrt{6}}{6}$.