Hipi Zhdripi i Matematikës/1157

tani marrim shumën e tyre:

(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} + (\vec{a} \times \vec{b})^{2} = {\vec{a}}^{2} b^{2} [\cos^{2} (\vec{a}, \vec{b}) + \sin^{2} (\vec{a}, \vec{b})] = a^{2} b^{2}

,

dhe vijmë deri të formula e paraqitur.

Stampa:S h e m b u l l i Të thjeshtësohet shprehja

(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})

.

Stampa:Z g j i d h j e I kryejmë veprimet e shënuara:

(\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{c} \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) =

= \dots = 2 (\vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}) = 2 (\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c}

.

4.2.1. PRODHIMI VEKTORIAL I VEKTORËVE TË SHPREHUR ME KOORDINATA

Stampa:Dygishta Në bazë të përkufizimit 4.2.1. përpilohet tabela e prodhimit vektorial të orteve $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ :

\begin{matrix} \times & \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \vec{i} & 0 & \vec{k} & - \vec{j} \\ \vec{j} & - \vec{k} & 0 & \vec{i} \\ \vec{k} & \vec{j} & - \vec{i} & 0 \end{matrix}

(...24a)

ku, për shembull,

\vec{i} \times \vec{k} = \vec{j}

, sepse

\vec{i}, \vec{k}, - \vec{j}

formojnë reperin e djathtë të orteve, ndërkaq .

\vec{j} \times . \vec{j} = 0

, sepse

\sin (\vec{j}, \vec{j}) = \sin 0 = 0

. Pra, prodhimi vektorial i vektorëve

\vec{a} (x_{1}, y_{1}, z_{1}), \vec{b} (x_{2}, y 2, z_{2})

përcaktohet me formulën:

Stampa:Dygishta	$\vec{a} \times \vec{b}$	$= (x_{1} \vec{i} + y \vec{j} + z_{1} \vec{k}) \times (x_{2} \vec{i} + y_{2} \vec{j} + z_{2} \vec{k})$
		$= (y_{1} z_{2} - y_{2} a_{1}) \vec{i} - (x_{1} z_{2} - x_{2} z_{1}) \vec{j} + (x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}) \vec{k}$
		$= \vec{i} \| \begin{matrix} y_{1} & z_{1} \\ y_{2} & z_{2} \end{matrix} \| - \vec{j} \| \begin{matrix} x_{1} & z_{1} \\ x_{2} & z_{2} \end{matrix} \| + \vec{k} \| \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \end{matrix} \|$

Menuja e navigimit