Hipi Zhdripi i Matematikës/1151

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Pra, projeksioni i vektorit $\overrightarrow{a}$ në boshtin $\overrightarrow{e}$ është i barabartë me prodhimin skalar të atij vektori me ortin e boshtit.

Fig. 5.16.

Stampa:Dygishta Gjithashtu, edhe projeksioni i një vektori në vektorin tjetër (fig. 5.16.) mund të shprehet me anën e prodhimit skalar të tyre dhe anasjellta:

$pr{.}_{\overrightarrow{b}}\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$(...22a)

nga del:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{b}|pr{.}_{\overrightarrow{e}}\overrightarrow{a}(=|\overrightarrow{a}|pr{.}_{\overrightarrow{a}}\overrightarrow{b}).$(...20a)

Stampa:Dygishta Këto relacione njëherit shpjegojnë domethënien gjeometrike të prodhimit skalar të dy vektorëve. Ndërkaq, interpretimi mekanik i prodhimit skalar shpjegohet në këtë mënyrë: Stampa:Dygishta Le të marrim se vektori $\overrightarrow{F}$ e paraqet forcën, vektori $\overrightarrow{s}$ trajektorin (zhvendosjen) e pikës materiale $M$, ndërsa $Q$ punën që kryen forca $\overrightarrow{F}$ gjatë zhvendosjes $\overrightarrow{s}$ të asaj pike materiale. Nga mekanika e dimë formulën e punës:

$0=|\overrightarrow{F}||\overrightarrow{s}|\cos (\overrightarrow{F}\overrightarrow{s})$ ose $0=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{s}$, (...23)

pra, konkludojmë: puna është e barabartë me prodhimin skalar të vektorit të forcës me vektorin e zhvendosjes.

Stampa:Dygishta Nga përkufizimi 4.1.l. dalin këto veti të prodhimit skalar: Stampa:Dygishta 1°. Kur $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$, ku $\overrightarrow{a}\ne 0△\overrightarrow{b}\ne 0$, atëherë vektorët $\overrightarrow{a}$ dhe $\overrightarrow{b}$ janë normal $(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b})$; Stampa:Dygishta 2°. Kur $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=ab$, vektorët $\overrightarrow{a}$ dhe $\overrightarrow{b}$ janë kolinearë. Pra, kushti që dy vektorët të jenë kolinearë është që prodhimi skalar i tyre të jetë i barabartë me prodhimin e moduleve. Stampa:Dygishta Për prodhimin skalar të vektorëve vlejnë këto ligje: Stampa:Dygishta (c₁) Ligji komutativ: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$; Stampa:Dygishta (c₂) Ligji asociativ ndaj faktorit skalar:

$(\overrightarrow{a}.\cdot \overrightarrow{b})m=\overrightarrow{a}\cdot (m\overrightarrow{b})=(m\overrightarrow{a})\overrightarrow{b}$; dhe

Stampa:Dygishta (c₃) Ligji distributiv: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$. Stampa:Dygishta Këto ligje drejtpërsëdrejti vërtetohen me anë të relacionit përkufizues (20). Stampa:Dygishta Vërejtje: (1) Prodhimi skalar i tre e më tepër vektorëve nuk përkufizohet, andaj nuk ka kurrfarë domethënie matematike shprehja $\overrightarrow{a^n},\mathrm{\forall }n>2$; Stampa:Dygishta (2) Në rastin e përgjithshëm nga relacioni $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}-=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$ nuk rezulton se $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$, por këtu kemi këto implikacione

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\Rightarrow (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=0\Rightarrow \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{c}$.