Hipi Zhdripi i Matematikës/1148

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Pra, vërtet, vektori $\vec{a}$ është zbërthyer në komponente kolineare me vektorët ${\vec{a}}_{1}$ dhe ${\vec{a}}_{2}$ . Stampa:Dygishta Tani duhet vërtetuar se ky zbërthim i vektorit $\vec{a}$ është i vetmi. Le të supozojmë të kundërtën, se ekzistojnë dy zbërthime:

\vec{a} = m_{1} {\vec{a}}_{1} + m_{2} {\vec{a}}_{2}, \vec{a} = n_{1} {\vec{a}}_{1} + n_{2} {\vec{a}}_{2}

.

Nga barazia e parë zbresim të dytën, përftojmë:

(m_{1} - n_{1}) {\vec{a}}_{1} + (m_{2} - n_{2}) {\vec{a}}_{2} = 0

.

Stampa:Dygishta Për vektorët jokolinearë ${\vec{a}}_{1}$ , ${\vec{a}}_{2}$ ky relacion mund të ekzistojë vetëm nëse koeficientët e kombinimit përkatës linear $m_{1} - n_{1}$ dhe $m_{2} - n_{2}$ janë të barabarta me zero. Prandaj, kemi

m_{1} - n_{1} = 0, m_{2} - n_{2} = 0 \Rightarrow m_{1} = n_{1}, m_{2} = n_{2},

me çka në tërësi u vërtetua pohimi i teoremës.

Stampa:T e o r e m a Çdo vektor $\vec{a}$ në hapësirë mund të zbërthehet në mënyrë të vetme në komponente kolineare me vektorët e reperit $({\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3})$ .

Fig. 5.14.

Stampa:Dygishta V ë r t e t i m: Edhe në këtë rast së pari zhvendosen vektorët $\vec{a}, {\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3}$ në pozitë me origjinë të përbashkët $0$ (fig. 5.14):

\vec{0 A} = \vec{a}, \vec{0 A_{1}} = {\vec{a}}_{1}

,

\vec{0 A_{2}} = {\vec{a}}_{2}, \vec{0 A_{3}} = {\vec{a}}_{3}

.

Stampa:Dygishta Nga pika $A$ tërheqim drejtëzën $A P ‖ 0 A_{3}$ ,, ku pika $P$ i përket planit $A_{1} 0 A_{2}$ . Prej pikës $P$ e tërheqim drejtëzën $P Q ‖ 0 A_{2}$ , ku pika $Q$ i përket drejtëzës $0 A$ . Nga vija poligonale $0 Q P A$ kemi:

\vec{0 A} = \vec{0 Q} + \vec{Q P} + \vec{P A}

.

Stampa:Dygishta Vektorët $\vec{0 Q}$ , $\vec{Q P}$ dhe $\vec{P A}$ jane kolinearë me vektorët ${\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3}$ , çka do të thotë se ekzistojnë tre skalarë $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ , ashtu që:

\vec{0 Q} = m_{1} {\vec{a}}_{1}, \vec{Q P} = m_{2} {\vec{a}}_{2}, \vec{P A} = m_{3} {\vec{a}}_{3}

.

Këto i zëvendësojmë në relacionin e mëparshëm:

\vec{a} = m_{1} {\vec{a}}_{1} + m_{2} {\vec{a}}_{2} + m_{3} {\vec{a}}_{3}

.

Stampa:Dygishta Pra, vërtet vektori $\vec{a}$ është zbërthyer në komponente kolineare me vektorët e reperit $({\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3})$ .

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta

Hipi Zhdripi i Matematikës/1148

Menuja e navigimit

Kërko