Hipi Zhdripi i Matematikës/1119

ku të gjitha konstantet $c_1,c_2,\cdots ,c$, nuk janë të barabarta me zero. Kur në këtë identitet zëvendësohen shprehjet për $f_1,.f_2{f}_r$ dhe grupohen kufizat sipas panjohurave $x_1,x_2,\cdots ,x_n$, përftohet:

$(c_1{a}_{11}+c_2{a}_{21}+\cdots +c_r{a}_{r1})x_1+(c_1{a}_{12}+c_2{a}_{22}+\cdots +c_r{a}_{r2})x_2+\cdots +$

$+(c_1{a}_{1r}+c_2{a}_{2r}+\dots c_r{a}_{rr})x_r\cdots +(c_1{a}_{1n}+c_2{a}_{2n}+\cdots +c_r{a}_{rn})x_n\equiv 0$.

Nga ky identitet del ky sistem i ekuacioneve homogjene:

$\begin{array}{ccc}{c}_1{a}_{11}+c_2{a}_{21}+\cdots +c_r{a}_{r1}& =& 0\\ c_1{a}_{12}+c_2{a}_{22}+\cdots +c_r{a}_{r2}& =& 0\\ & ⋮& \\ c_1{a}_{1r}+c_2{a}_{2r}+\cdots +c_r{a}_{rr}& =& 0\\ & ⋮& \\ c_1{a}_{1n}+c_2{a}_{2n}+\cdots +c_n{a}_{rn}& =& 0\end{array}$

Në p. 5.6. kemi konstatuar se sistemi i tillë (kur $D\ne 0$) ka vetëm zgjidhje triviale: $c_1=0,c_2=0\cdots ,c_r=0$, sepse përcaktorët karakteristikë të tij janë të barabartë me zero $(D_k=0,\mathrm{\forall }k=1,2,\cdots ,r$). Meqenëse ky rezultat është në kundërshtim me supozimin se të gjitha konstantet $c_1,c_2,\cdots ,c_r$ nuk janë të barabarta me zero, andaj konkludojmë se në bashkësinë e formave lineare $f_1,f_2,\cdots ,f_m$, ekzistojnë $r$ nga to $f_1,f_2,\cdots ,f_r$ të cilat janë linearisht të pavarura.

Stampa:DygishtaTani duhet të vërtetojmë se format tjera lineare $f_{r+1},f_{r+2},\cdots ,f_m$ janë kombinime lineare homogjene prej $r$ formave të pavarura. Le të bëjmë këtë për formën lineare $f_j(j>r)$. Për të provuar këtë duhet të vërtetojmë se përcaktori i rendit $r+1$:

$\mathrm{\Delta }=\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1r}& f_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2r}& f_2\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{r1}& a_{r2}& \cdots & a_{rr}& f_r\\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jr}& f_j\end{array}$

është i barabartë me zero. Kur në shtyllën e fundit të këtij përcaktori zëvendësohen $f_1,f_2,\cdots ,f_r,f_j$ me shprehjet përkatëse, ai mund të paraqitet si shuma e këtyre $n$ përcaktorëve:

$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1r}& a_{1s}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2r}& a_{2s}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{r1}& a_{r2}& \cdots & a_{rr}& a_{rs}\\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jr}& a_{js}\end{array}\right|x_s=x_s{D}_s(s=1,2,\dots ,n)$