Hipi Zhdripi i Matematikës/1117

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:V ë r t e t i m Në bazë të ligjeve për transponimin e matricave (p. 4.1.) kemi: Stampa:Dygishta(a) $(A+A^{\prime }{)}^{\prime }=A^{\prime }+(A^{\prime }{)}^{\prime }=A^{\prime }+A$, d.m.th. $(A+A^{\prime }{)}^{\prime }=A+A^{\prime }$, prandaj konkludojmë se $A+A^{\prime }$ është matricë simetrike; Stampa:Dygishta(b) $(A+{\overline{A}}^{\prime }{)}^{\prime }=A^{\prime }+({\overline{A}}^{\prime }{)}^{\prime }=A^{\prime }+\overline{A}$,

$\overline{A^{\prime }+\overline{A}}={\overline{A}}^{\prime }+(\bar{\overline{A}})={\overline{A}}^{\prime }+A$,

d.m.th.:

$(\overline{A+{\overline{A}}^{\prime }}{)}^{\prime }=(\overline{A^{\prime }+\overline{A}})={\overline{A}}^{\prime }+A$,

prandaj konkludojmë se $A+A^{\prime }$ është matricë e Hermitit.

7. FORMAT LINEARE 7.1. RANGU I MATRICËS

Stampa:DygishtaLe të jetë dhënë matrica drejtkëndore $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$. Nga kjo matricë i veçojmë $p$ rreshta dhe $p$ shtylla, ku $1⩽p⩽min(m,n)$. Elementet që ndodhen në prerjen e këtyre rreshtave dhe shtyllave formojnë një matricë katrore të rendit $p$ e cila quhet submatrica katrore e matricës $A$. Kuptohet matricës drejtkëndore $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$ i përkasin submatricat katrore të rendeve të ndryshme, prej rendit $1$ e deri te rendi $p=min(m,n)$. Pra, rendi më i lartë i submatricave katrore të matricës $A$ është $p=min(m,n)$. Kur $m⩽n$, atëherë matricës $A$ i përkasin gjithsej ($\begin{array}{c}m\\ n\end{array}$) submatrica katrore të rendit $m$, ndërkaq kur $n⩽m$, asaj i përkasin ($\begin{array}{c}n\\ m\end{array}$) submatrica katrore të rendit $n$. Stampa:DygishtaP ë r k u f i z i m i  7.l.1. - Matrica $A=[a_{ik}{]}_{m,n}$ ka rangun $r$ nëse ndërmjet submatricave katrore të kësaj matrice ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$, ndërsa submatricat katrore të rendit më të lartë se $r$, edhe nëse ekzistojnë, janë singulare. Rangu i zero-matricës është $0$. Stampa:DygishtaRangu i matricës $A$ simbolikisht shënohet me $r(A)$ ose $rang(A)$. Stampa:DygishtaP.sh. rangu i matricës

$A=\left[\begin{array}{ccccc}2& 5& 8& 2& 3\\ 1& 4& 4& 1& 2\\ 1& -2& 4& 1& 0\\ 3& 1& 12& 3& 2\end{array}\right]$

është $r=3$, pasi që të gjitha submatricat katrore të rendit të katërt të saj janë singulare, kurse ekziston një submatricë regulare e rendit tretë. E atillë është b.f. submatrica:

$\left[\begin{array}{ccc}4& 1& 2\\ -2& 1& 0\\ 1& 3& 2\end{array}\right]$