Hipi Zhdripi i Matematikës/1110

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta(b) Nëse të dy këta përcaktorë janë të barabartë me zero sistemi është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura:

$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1.$

Stampa:S h e m b u l l i Për vlerat e ndryshme të parametrit $m$ të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit:

$\begin{array}{c}m{x}_1+x_2+x_3=1\\ x_1+m{x}_2+x_3=m\\ x_1+x_2+m{x}_3=m^2.\end{array}$

Stampa:Z g j i d h j e Meqë në këtë rast

$D=(m-1){}^2(m+2),D{}_1=-(m-1){}^2(m+1),D{}_2=(m-1){}^2,D{}_3=(m-1){}^2(m+1){}^2$

ku ylerat karakteristike të parametrit $m$ për përcaktorin kryesor janë $-2$ dhe $1$, kurse për përcaktorët karakteristikë $-1$ dhe $1$, pra: Stampa:Dygishta(a) Për $\mathrm{\forall }m\ne -2\vee 1:D\ne 0$, sistemi i dhënë është i mundshëm ku

$x_1=\frac{m+1}{m+2},x_2=\frac{1}{m+2},x_3=\frac{(m+1{)}^2}{m+2},$

Stampa:Dygishta(b) Për $m=-2:D=0,\mathrm{\exists }{A}_{ik}\ne 0$ (p.sh. $A_{33}=3$) dhe $D_3=9\ne 0$, prandaj sistemi i dhënë është i pamundshëm; Stampa:Dygishta(c) Për $m=1:D=0,A_{ik}=0(\mathrm{\forall }i,k=1,2,3),\mathrm{\exists }{a}_{ik}\ne 0$ (p.sh. $a_{11}=1$) dhe

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=0,\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{31}& b_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right|=0$

prandaj sistemi i dhënë reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura: $x_1+x_2+x_3=1$. Zgjidhjet e këtij ekuacioni janë $(1-m-n,m,n)$ ku $m,n$ janë dy parametra çfarëdo.

5.6. SISTEMI I $n$ EKUACIONEVE LINEARE ME $n$ TË PANJOHURA

Stampa:DygishtaForma e përgjithshme e sistemit të $n$ ekuacioneve (barazimeve) lineare me $n$ të panjohura është:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$

ku njëlloj, sikurse për sistemin (32), përkufizohet përcaktori kryesor $D$, përcaktorët karakteristikë $D_k(k=1,2,\cdots ,n)$ dhe zgjidhja $(t_1,t_2,\cdots ,tn)$ e këtij sistemi. Gjithashtu, në mënyrë analoge, nxirren formulat e Cramerit respektivisht i shumëzojmë me radhë ekuacionet e këtij sistemi me kofaktorët $A_{ik}$ të