Hipi Zhdripi i Matematikës/1109

në ekuacionin e tretë të sistemit (32a) në kofaktor sipas elementeve të shtyllës së tretë, ku pas reduktimit merret:

$(a_{13}{A}_{13}+a_{23}{A}_{23}+a_{33}{A}_{33})x_3=b_1{A}_{13}+b_2{A}_{23}+b_3{A}_{33}\Rightarrow D{x}_3=D_3,$

sepse koeficientet e $x_1$ dhe $x_2$ janë të barabarta me zero. Në bazë të relacionit të fundit përfundojmë:

Stampa:Dygishta(a) Nëse $D_3\ne 0$, sistemi (32) është i pamundshëm; Stampa:Dygishta(b) Nëse $D_3=0$, sistemi (32) është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në dy ekuacione me tri të panjohura:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2\end{array}$

Stampa:DygishtaNë këtë sistem, kur $x_3$ e trajtojmë si parametër, kemi:

$\begin{array}{ccc}{x}_1=\frac{\left|\begin{array}{cc}{b}_1-a_{13}{x}_3& a_{12}\\ b_2-a_{23}{x}_3& a_{22}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}& ,& x_2=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1-a_{13}{x}_3\\ a_{21}& b_2-a_{23}{x}_3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}\end{array}$

Stampa:Dygishta3°. Kur $D=0,A_{ik}=0(\mathrm{\forall }i,k=1,2,3)$ dhe $\mathrm{\exists }{a}_{ik}\ne 0$, ekuivalent me:

$\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3-b_1\\ a_{21}& a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3-b_2\end{array}\right|=0\\ \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3-b_1\\ a_{31}& a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3-b_3\end{array}\right|=0\end{array}$ (...32b)

Stampa:DygishtaEkuivalenca e këtyre dy sistemeve vërtetohet sikurse në rastin e mëparshëm. Stampa:DygishtaDy ekuacionet e fundit të sistemit (32b) mund të shprehen në këtë mënyrë

$\begin{array}{c}(a_{11}{a}_{21}-a_{11}{a}_{21})x_1+(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21})x_2+(a_{11}{a}_{23}-a_{13}{a}_{21})x_3=a_{11}{b}_2-a_{21}{b}_1\\ (a_{11}{a}_{31}-a_{11}{a}_{31})x_1+(a_{11}{a}_{32}-a_{12}{a}_{31})x_2+(a_{11}{a}_{33}-a_{13}{a}_{31})x_3=a_{11}{b}_3-a_{31}{b}_1\end{array}$

prej nga, duke marrë parasysh kushtet, del:

$\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|=0& & \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{31}& b_3\end{array}\right|=0\end{array}$

Stampa:DygishtaD.m.th.: Stampa:Dygishta(a) Nëse të paktën njëri prej përcaktorëve

$\begin{array}{ccc}\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|& ose& \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{31}& b_3\end{array}\right|\end{array}$

nuk është i barabartë me zero, sistemi (32) është i pamundshëm;