Algoritmi i Gaussit

Nga testwiki
Kërceni tek navigimi Kërceni tek kërkimi

Stampa:StyllaMatricatdhepërcaktorët

Një metodë praktike për zgjidhjen e sistemit të n ekuacioneve Iineare me n të panjohura është ajo e Gaussit që quhet algoritmi i Gaussit. Të shohim tani këtë algoritëm.

Le të marrim sistemin:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2⋮an1x1+an2x2+…+annxn=bn
dhe le të supozojmë se a11≠0. Ekuacionin e parë të këtij sistemi e shumëzojmë me radhë me numrat:
a21a11,a31a11,a41a11,…,an1a11

dhe barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të dytë, ekuacionit të tretë, . . . , ekuacionit të fundit. Kështu merret sistemi:

a11x1+a12x2+a13x3+⋯+a1nxn=b1a221x2+a231x3+⋯+a2n1xn=b21a321x2+a331x3+⋯+a3n1xn=b31⋮an11x2+an31x3+⋯+ann1xn=bn1

Në këtë sistem e panjohura x1 është eliminuar nga të gjitha ekuacionet, përveç ekuacionit të parë. Përsërisim këtë veprim në sistemin (a) ku ekuacionin e dytë të tij e shumëzojmë me radhë me numrat:

a321a221,a421a221,a521a221,…,an21a221,ku a221≠0

dhe pastaj barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të tretë, ekuacionit të katërt, . . . , ekuacionit të fundit. Me këtë rast sistemi do ta merrë këtë trajtë:

a11x1+a12x2+a13x3+⋯+a1nxn=b1a221x2+a231x3+⋯+a2nlxn=b2la332x3+⋯+a3n2xn=b32⋮an22x3+⋯+ann2xn=bn2

Me përsëritjen e këtij algoritmi n−1 herë do të përftohet sistemi:

a11x1+a12x2+a13x3+⋯++a1nxn=b1a221x2+a231x3+⋯++a2n1xn=bl1a333x3+⋯++a3n3xn=b32⋮⋮annn−1xn=bnn−1(...34a)

i cili quhet sistemi trekëndor dhe është ekuivalent me sistemin (34). Zgjidhja e sistemit të fundit mund të reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit linear me një të panjohur. Vërtet, kur vlerën e panjohurës xn, të njehsuar nga ekuacioni i fundit, e zëvendësojmë në atë të parafundit, marrim ekuacionin linear me të panjohurën xn−1. Kur vlerat e njehsuara të xn dhe xn−1 i zëvendësojmë në ekuacionin e tretë nga fundi, përsëri marrim ekuacionin linear me një të panjohur - me të panjohurën xn−2. Ky proces vazhdohet derisa edhe ekuacioni i parë i sistemit (34a) nuk reduktohet në një ekuacion me një të panjohur, nga njehsohet vlera e të panjohurës x1. Pra, kjo metodë e zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve lineare quhet algoritmi i Gaussit.

Shembuj

Me algoritmin e Gaussit të zgjidhet sistemi:

 x1+2x2−3x3+4x4− x5=−12x1− x2+3x3−4x4+2x5= 8 3x1+ x2− x3+2x4− x5= 3 4x1+3x2+4x3+2x4+2x5=−2 x1− x2− x3+2x4−3x5=−3

Z g j i d h j e: Duke aplikuar algoritmin e Gaussit marrim këto sisteme ekuivalente:

 x1+2x2− 3x3+ 4x4− x5=−1−5x2+ 9x3−12x4+4x5=10−5x2+ 8x3−10x4+2x5= 6−5x2+16x3−14x4+6x5= 2−3x2+ 2x3− 2x4−2x5=−2 x1+2x2− 3x3+ 4x4−  x5= −1−5x2+ 9x3−12x4+ 4x5= 10−  x3+ 2x4− 2x5= −4 7x3− 2x4+ 2x5= −8−17x3+26x4−22x5=−40 x1+2x2− 3x3+ 4x4−  x5= −1−5x2+ 9x3−12x4+ 4x5= 10−  x3+ 2x4− 2x5= −412x4−12x5=−36− 8x4+12x5= 28 x1+2x2− 3x3+ 4x4−  x5= −1−5x2+ 9x3−12x4+ 4x5= 10−  x3+ 2x4− 2x5= −412x4−12x5=−36 4x5=4
Marrë nga "https://sq.wikibooks.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Algoritmi_i_Gaussit&oldid=281"