Hipi Zhdripi i Matematikës/1164

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Nga përkufizimi 4.4.1., sikurse edhe nga formula (30a), shihet qartas se prodhimi i dyfishtë vektorial i tre vektorëve nuk është as veprim komutativ, as asociativ. Stampa:Dygishta Me permutimin ciklik të faktorëve në prodhimin e dyfishtë vektorial të tre vektorëve përftohet:

$\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{c}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}$.

Stampa:Dygishta Me mbledhjen e këtyre tri barazirave marrim:

$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a})\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=0$,

çka do të thotë se vektorët

$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}),\overrightarrow{b}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}),\overrightarrow{c}\times (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$

janë linearisht të varur (komplanarë).

Stampa:S h e m b u l l i Të gjendet prodhimi i dyfishtë vektorial i vektorëve $\overrightarrow{a}(3,2,-1)$, $\overrightarrow{b}(1,-1,-2)$, $\overrightarrow{c}(4,-3,4)$, Stampa:Z g j i d h j e Së pari njehsojmë

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=2,\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$

pastaj aplikojmë formulën (30a):

$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}=-10\overrightarrow{i}+7\overrightarrow{j}-16\overrightarrow{k}$.

Stampa:S h e m b u l l i Të vërtetohet

$\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=0$, kur $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{c}$.

Stampa:Dygishta V ë r t e t i m: Nga kushtet e problemit kemi:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ dhe $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0$.

Kur këto të dhëna i zëvendësojmë në formulën (30a), vërtetohet saktësia e relacionit të paraqitur.

5. DETYRA PËR USHTRIME

vazhdimi në kapitullin e gjashtë Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta