Hipi Zhdripi i Matematikës/1160

ku: $S_{\diamond }$ - paraqet syprinën e paralelogramit $0ADB$ të ndërtuar mbi vektorët $\overrightarrow{a}$ dhe $\overrightarrow{b}$; ${\overrightarrow{d}}_0$ - paraqet ortin e vektorit $\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$. ndërsa $h=pr{.}_{{\overrightarrow{d}}_0}\overrightarrow{c}={\overrightarrow{d}}_0\cdot \overrightarrow{c}$ paraqet lartësinë e paralelopipedit $0ADBCGFE$ të ndërtuar mbi vektorët $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ (fig. 5.20a). Kur $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})$ është reper i majtë (fig. 5.20b.), përftohet

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=-V$ (...27a)

Fig. 5.20,

Fig. 5.20,

sepse këtu:

${\overrightarrow{d}}_0\cdot \overrightarrow{c}=pr{.}_{{\overrightarrow{d}}_0}\overrightarrow{c}=-h$.

Stampa:Dygishta Kështu p.sh.:

$(\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j})\cdot \overrightarrow{k}=1,(\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k})\cdot \overrightarrow{i}=1,(\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i})\cdot \overrightarrow{j}=1$

ndërsa

$(\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i})\cdot \overrightarrow{k}=-1,(\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k})\cdot \overrightarrow{j}=-1,(\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i})\cdot \overrightarrow{j}=-1$

Stampa:Dygishta Formulën për produktin e përzier të vektorëve $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ të shprehur me koordinata

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|\cdot (x_3\overrightarrow{1}+y_3\overrightarrow{j}+z_3\overrightarrow{k})$

e gjejmë kur rreshtin e parë të përcaktorit simbolik e shumëzojmë skalarisht me vektorin $\overrightarrow{c}=x_3\overrightarrow{i}+y_3\overrightarrow{j}+z_3\overrightarrow{k}$ dhe pastaj permutojmë rreshtin e parë me të dytin dhe rreshtin e dytë me të tretin, marrim:

$(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\\ x_3& y_3& z_3\end{array}\right|$ (...28)

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta