Hipi Zhdripi i Matematikës/1149

Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës kryefleta Stampa:Dygishta Të vërtetojmë se ky zbërthim është i vetmi. Le të supozojmë të kundërtën - se ekzistojnë dy zbërthime të ndryshme:

$\overrightarrow{a}=m_1{\overrightarrow{a}}_1+m_2{\overrightarrow{a}}_2+m_3{\overrightarrow{a}}_3,a\overrightarrow{=}{n}_1{\overrightarrow{a}}_1+n2{\overrightarrow{a}}_2+n_3{\overrightarrow{a}}_3$.

Nga barazia e parë zbresim të dytën, përftohet:

$(m_1-n_1){\overrightarrow{a}}_1+(m_2-n_2){\overrightarrow{a}}_2+(m_3-n_3){\overrightarrow{a}}_3=0$.

Stampa:Dygishta Për vektorët jokomplanarë ${\overrightarrow{a}}_1,{\overrightarrow{a}}_2,{\overrightarrow{a}}_3$ ky relacion mund të ekzistojë vetëm nëse koeficientët e atij kombinimi linear $m_1-n_1,m_2-n_2,m_3-n_3$ janë të barabarta me zero. Prandaj, kemi

$m_1-n_1=0,m_2-n_2=0,m_3-n_3=0\Rightarrow m_1=n_1,m_2=n_2,m_3=n_3$,

me çka plotësisht u vërtetua pohimi i teoremës.

Stampa:S h e m b u l l i Le të, jetë $\overrightarrow{a}=16\overrightarrow{i}-15\overrightarrow{j}+12\overrightarrow{k}$. Të caktohet $\overrightarrow{b}$ moduli i të cilit është $75$, bartësja paralele me bartësen e vektorit $\overrightarrow{a}$, kurse kahu i kundërt kahut të atij vektori. Stampa:Z g j i d h j e Pra, kemi:

$\overrightarrow{b}=-m\overrightarrow{a}$ dhe $|-m\overrightarrow{a}|=75$.

Meqenëse

$-m\overrightarrow{a}=-16m\overrightarrow{i}+15m\overrightarrow{j}-12m\overrightarrow{k}$,

aplikojmë formulën (10):

$\sqrt{(-16m{)}^2+(15m{)}^2+(-12m{)}^2}=75\Rightarrow 25m=75\Rightarrow m=3$,

pra, vektori i kërkuar është

$\overrightarrow{b}=-48\overrightarrow{i}+45\overrightarrow{j}-36\overrightarrow{k}$.

Stampa:S h e m b u l l i Le të jenë vektorët: ${\overrightarrow{r}}_1=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}$, ${\overrightarrow{r}}_2=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$, ${\overrightarrow{r}}_3=3\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ vektorë të pozitës së tri kulmeve të njëpasnjëshme $A,B,C$ të një paralelogrami. Të caktohet vektori i pozitës së kulmit të katërt $D$ (fig. 5.15.).

Fig. 5.15.

Stampa:Z g j i d h j e Prej fig.5.15. shohim se:

$\overrightarrow{AB}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1,\overrightarrow{DC}={\overrightarrow{r}}_3-r_4$,

ku me ${\overrightarrow{r}}_4$ kemi shënuar vektorin e pozitës së kulmit $D$. Vektorët $\overrightarrow{AD}$ dhe $\overrightarrow{DC}$ janë kolinearë dhe të barabartë, prandaj:

${\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1={\overrightarrow{r}}_3-{\overrightarrow{r}}_4\Rightarrow {\overrightarrow{r}}_4={\overrightarrow{r}}_1+{\overrightarrow{r}}_3-{\overrightarrow{r}}_2$,

d.m.th.

${\overrightarrow{r}}_4=5\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k}-(\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k})=4\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$.

Stampa:S h e m b u l l i Le të jenë vektorët: $\overrightarrow{a}(2,5,-7)$, Stampa:Hipi Zhdripi i Matematikës fundfleta