Shih burimin për Teorema e Kronecker-Capellit

{{StyllaMatricatdhepërcaktorët|Matricat}}

==Matrica e ekuacionit linear dhe matrica e zgjeruar e tij==
Le të marrim sistemin e <math>m</math> ekuacioneve lineare me <math>n</math> të panjohura:

<center><math>\sum^{n}_{k=1} a_{ik}x_k = b_i \ (i = 1, 2, \cdots, m)</math>.	(...44)</center>

Në këtë rast matrica drejtkëndore <math>A=[a_{ik}]_{m,n}</math> quhet matrica e sistemit të ekuacioneve lineare (44), ndërsa matrica drejtkëndore

<center> <math>B= \begin{bmatrix}
a_{11}	& a_{12} 	& \cdots 	& a_{1n}	& b_1	\\
a_{21}	& a_{22} 	& \cdots 	& a_{2n}	& b_2	\\
\vdots	& 	 	& 		& 		& 	\\
a_{m1}	& a_{m2} 	& \cdots 	& a_{mn}	& b_m	\\
\end{bmatrix}</math> (...45)</center>

quhet matrica e zgjeruar e atij sistemi.


Thuhet se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm nëse ekziston bashkësia e vlerave <math>t_k \ (k = 1, 2,.. . , n)</math> e atillë që

<center><math>\sum^{n}_{k=1} a_{ik}t_k = b_i \ (i =1, 2, ... , m)</math>(...44a)</center>

paraqet një sistem i <math>m</math> formulave të sakta. Bashkësia e vlerave të atilla quhet <i>zgjidhja</i> e sistemit të ekuacioneve lineare (44).
==Teorema e Kronecker - Capellit==
<u>T e o r e m a: e Kronecker - Capellit</u>. - Sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm atëherë dhe vetëm atëherë nëse <math>r (A)= r (B)</math>.

<u>V ë r t e t i m:</u> Hipoteza e teoremës është e nevojshme, meqë supozimi se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm, implikon që <math>r (A) = r (B)</math>.

Vërtet, kur e shumëzojmë me radhë shtyllën e parë, të dytë,<math>\cdots </math>, shtyllën <math>n</math> të matricës <math>B</math> me numrat: <math>-t_1, -t_2, \ldots	t_n </math> dhe pastaj ato prodhime i shtojmë shtyllës së fundit, përftohet kjo matricë ekuivalente:

<center><math>\begin{bmatrix}
a_{11} 	&	a_{12} 	&	\cdots	&	a_{1n} 	&	& b_1-\underset{{k=1}}{\overset{n}{\sum}} a_{1k}t_k\\
\vdots	&		&		&		&	&				\\
a_{m1} 	&	a_{m2} 	&	\cdots 	&	a_{mn} 	&	& b_m-\underset{{k=1}}{\overset{n}{\sum}} a_{mk}t_k\\
\end{bmatrix}</math></center>

Të gjitha elementet e shtyllës <math>n + 1</math> të kësaj matrice janë të barabarta me zero (në bazë të formulave (44a)), prandaj konkludojmë se <math>r(A)=r(B)</math>.

Hipoteza e teoremës është e mjaftueshme, sepse kushti <math>r (A) = r (B)</math> implikon që sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm.

Vërtet, kur <math>r(A)=r(B)=r</math>, atëherë ekziston së paku një submatricë regulare e rendit <math>r</math> të matricës <math>A</math>. Le të supozojmë se submatrica e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës. Në këtë rast <math>r</math> rreshta të parë të matricës <math>A</math> dhe matricës <math>B</math> janë linearisht të pavarur, ndërkaq rreshtat tjerë në këto matrica janë kombinime lineare nga ata <math>r</math> rreshta të para. Nga kjo del se tani sistemi i ekuacioneve lineare (44) reduktohet në <math>r</math> ekuacione lineare me <math>n</math> të panjohura:

<center><math>\begin{matrix}
a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& \cdots &+& a_{1n}x_n &=& b_1	\\
a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& \cdots &+& a_{2n}x_n &=& b_2	\\
	  & &		& &		& &      & \vdots &	\\
a_{r1}x_1 &+& a_{r2}x_2 &+& \cdots &+& a_{rn}x_n &=& b_r	\\
\end{matrix}</math></center>

ndërsa ekuacionet tjera të atij sistemi mund të flaken (mënjanohen). {{dygishta}}Varësisht prej vlerës së numrit r, dallojmë këto dy raste:

:1°. Kur <math>r=n</math> (d.m.th. kur <math>r(A)=n</math>), sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm dhe i caktuar, zgjidhjen e tij mund ta njehsojmë me formulat e <i>Cramerit</i> ose me algoritmin e <i>Gaussit</i>; dhe

:2°. Kur <math>r < n</math> (d.m.th. kur <math>r (A) < n</math>), sistemi i ekuacioneve lineare është i mundshëm, por i pacaktuar dhe ai sistem, respektivisht sistemi (44b), mund të shprehet në formën:

<center><math>\begin{matrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+  \cdots  +a_{1r}x_r=b_1-a_{1,r+1}x_{r+1}- & \cdots & -a_{1n}x_n \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+  \cdots  +a_{2r}x_r=b_2-a_{2,r+1}x_{r+1}- & \cdots & -a_{2n}x_n \\
& \vdots & \\
a_{r1}x_1+a_{r2}x_2+  \cdots  +a_{rr}x_r=b_r-a_{r,r+1}x_{r+1}- & \cdots & -a_{rn}x_n \\
\end{matrix}</math></center>

Zgjidhja (<math>x_1, x_2, \ldots , x_r</math>) e këtij sistemi të ekuacioneve lineare varet nga të panjohurat <math>x_{r+1}, x_{r+2}, \ldots , x_n</math> të cilat konsiderohen si parametra. Pra, në këtë rast sistemi i ekuacioneve lineare (44) ka pafund shumë zgjidhjesh.

Kur në sistemin e ekuacioneve lineare (44) të gjitha kufizat e lira janë të barabarta me zero (<math>b_i=0, \ i=1, 2, \ldots , m</math>), sistemi i tillë quhet <i>sistem i ekuacioneve lineare homogjene</i>:

<center><math>\sum^{n}_{k=1} a_{ik}x_k=0 \ (i=1, 2, \ldots. m)</math>.(...46)</center>

Ky sistem ekuacionesh lineare homogjene ka vetëm zgjidhjen triviale <math>x_1=0, \ x_2=0,\ldots, \ x_n=0</math>, nëse <math>r(A)=n</math>.

Sistemi i ekuacioneve lineare homogjene (46) ka, përveç zgjidhjes triviale, edhe pa fund shumë zgjidhjesh tjera, nëse <math>r (A) < n</math>.
===Shembuj===
Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

<center><math>\begin{matrix}
3x_1	&-&	5x_2	&+&	 2x_3	&+&	4x_4	&=&	2	\\
7x_1	&-&	4x_2	&+& 	\ x_3	&+&	3x_4	&=&	5	\\
5x_1 	&+& 	7x_2 	&-&	 4x_3 	&-& 	3x_4	&=& 	3	\\
\end{matrix}</math></center>

<u>Z g j i d h j e:</u> Këtu <math>r(A)=2, r(B)=3</math>, prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i pamundshëm.
----
Të shgyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

<center><math>\begin{matrix}
 3x_1	&-&	 2x_2	&+& 	\ x_3	&=&	3	\\
 2x_1	&-&	 3x_2	&+& 	\ x_3	&=&	0	\\ 
\ x_1	&+& 	\ x_2	&-&	 2x_3	&=&	5	\\
 -x_1	&+&	 2x_2	&-&	 2x_3	&=&	2	\\
\end{matrix}</math></center>

<u>Z g j i d h j e:</u> Këtu <math>r (A) = r (B) = 3</math>, prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i mundshëm dhe është ekuivalett me këtë sistem ekuacionesh:

<center><math>\begin{matrix}
 3x_1	&-&	 2x_2	&+&	\ x_3	&=&	3	\\
 2x_1	&-&	 3x_2	&+&	\ x_3	&=&	0	\\ 
\ x_1	&+&	\ x_2	&-&	 2x_3	&=&	5	\\
\end{matrix}</math></center>

Ngase <math>r=n</math>, sistemi i ekuacioneve të dhënë është i caktuar dhe zgjidhja e tij është treshi i renditur (<math>2;\ 1; - 1</math>).
----
Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit

<center><math>\begin{matrix}
x_1+x_2+ x_3-2x_4= 1	\\ x_1+x_2- x_3-2x4=-1	\\
x_1+x_2+5x_3-2x_4=5	\\
\end{matrix}</math></center>

<u>Z g j i d h j e:</u> Në këtë rast <math>r (A) = r (B) = 2< n</math>, prandaj sistemi i dhënë është i mundshëm, por i pacaktuar. Ky sistem ekuacionesh reduktohet në sistemin prej dy ekuacioneve lineare me katër të panjohura:

<center><math>\begin{matrix}
x_1+x_2+x_3-2x_4= 1	\\
x_1+x_2-x_3-2x_4=-1	\\
\end{matrix}</math></center>

të cilin e shprehim në këtë trajtë:

<center><math>\begin{matrix}
x_1+x_3=2x_4-x_2+1	\\
x_1 -x_3=2x_4-x_2-1 \\
\end{matrix}</math></center>

Në sistemin e fundit e marrim: <math>x_2=a, \ x_4=b</math>, ndërsa e njehsojmë: <math>x_1=2b-a, \ x_3=1</math>, prandaj konstatojmë se zgjidhjet e sistemit të dhënë janë katërshet e renditura (<math>2b - a, \ a, \ 1, \ b</math>).

[[Category:Matricat]]