Shih burimin për Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve

{{StyllaMatricatdhepërcaktorët|Përcaktorët}}
Për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë rëndom shfrytëzohen këto skema:

{|
|valign="top"|
:(a)
| [[Figura:101a skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG|340px]]
|-
|valign="top"|
:(b)
|[[Figura:101b skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG|540px]]
|}
{|
|valign="top"|
:(b<sub>1</sub>)
| [[Figura:102b1 skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG|500px]]
|-
|valign="top"|
:(c)
| [[Figura:102c skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG|500px]]
|}

Skemat (b), (b<sub>1</sub>) shprehin rregullën e <i>Legendrit</i> ose rregullën <i>e trekëndëshit</i>, kurse skema (c) rregullën e <i>Sarrusit</i>. Përdorimi i tyre shihet qartas.

Mirëpo, për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të tretë mund të shfrytëzohet edhe vetë formula përkufizuese (25). Kur polinomin e këtij përcaktori e paraqesim në këtë trajtë:

<center><math>a_{11} (a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12} (a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13} (a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})</math></center>

respektivisht

<center><math>
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} 
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix}+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}
</math></center>

atëherë kemi:

<center><math>\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
= a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}
</math>(...25a)</center>
:ku përcaktorët e rendit të dytë:
<center><math>\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} \ ,
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix} \ ,
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}
</math></center>

quhen <i>subdeterminante</i> ose <i>minore</i> të elementeve <math>a_{11}, a_{12}, a_{13}</math> të <math>\det A</math>. Kur përcaktorin e rendit të tretë (25a) emërtojmë me <math>D</math>, atëherë minoret e elementeve <math>a_{11}, a_{12}, a_{13}</math> emërtohen me <math>D_{11},D_{12},D_{13}</math> dhe përcaktori shprehet: 

<center><math>D=a_{11}D_{11}-a_{12}D_{12}+a_{13}D_{13}</math>.	(...25b)</center>

Kur përcaktorin e rendit të tretë e shprehim në formën (25a) ose (25b) themi se atë e kemi zhvilluar në minore (subdeterminante) sipas elementeve të rreshtit të parë. Fare lehtë mund të provohet se përcaktori <math>D</math> mund të zhvillohet në minore sipas elementeve të cilido rresht ose shtyllë.

Në përgjithësi, minori që i përgjigjet elementit <math>a_{ik}</math> shënohet me <math>D_{ik}</math>. Prodhimi i minorit <math>D_{ik}</math> me numrin <math>(-1)^{1+k}</math> quhet <i>kofaktor</i> (komplementi algjebrik) i elementit <math>a_{ik}</math> dhe shënohet <math>A_{ik}</math>, pra:

<center><math>A_{ik}=(-1)^{i+k} D_{ik}</math>.	(...27)</center>

Duke pasur parasysh këtë, formula (25b) merr këtë trajtë:

<center><math>D=a_{11}A_{11} +a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}</math></center>

Nuk është vështirë të provohet se, në përgjithësi, përcaktori i rendit të tretë <math>D</math> mund të shprehet me formulat:

<center><math>D=\begin{cases} 
a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3} & (i=1, 2, 3) \\	
a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+a_{3k}A_{3k} & (k=1,2,3) 
\end{cases}</math>(...28)</center>

që quhen formulat e <i>Laplacit</i><ref>4) Sipas emrit të matematikanit të shquar francez <i>Pilere Simon de Laplace</i> (1749-1827).</ref>.

Kur formulat e <i>Laplacit</i> i përgjithësojmë për përcaktorin e rendit <math>n</math> përftojmë:

<center><math>D=\begin{cases}
a_{i1} A_{i1} +a_{i2}A_{i2}+ \cdots +a_{in}A_{in} & (i=1, 2, \cdots, n) \\
a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+ \cdots +a_{nk}A_{nk} & (k=1, 2,\cdots, n)
\end{cases}</math><ref>5) Vërtetimin e këtyre formulave mund ta gjeni në [21), fq. 85-87.</ref>(...28a)</center>

Nga këto formula shihet se njehsimi i përcaktorit të rendit <math>n</math> reduktohet në njehsimin e <math>n</math> përcaktorëve të rendit <math>n - 1</math>. 
==Shembuj==
Të njehsohet vlera e përcaktorit

<center><math>D=
\begin{vmatrix} 
a^2 &     2ab & b^2 \\ 
ac  & ad + bc & bd  \\
c^2 &     2cd & d^2
\end{vmatrix}</math></center>

<u>Z g j i d h j e:</u> E zhvillojmë përcaktorin në minore sipas elementeve të rreshtit të dytë dhe njëherit aplikojmë vetitë e përcaktorëve siç vijon;

{|
|
|<math>D \,</math>
|<math>=
-ac          \begin{vmatrix} 2ab & b^2 \\ 2cd & d^2  \end{vmatrix}
+(ad + bc)   \begin{vmatrix} a^2 & b^2 \\ c^2  & d^2  \end{vmatrix}
-bd          \begin{vmatrix} a^2 & 2ab \\ c^2  & 2cd  \end{vmatrix}
</math>
|-
| || 
|<math>=
-2abcd       \begin{vmatrix} a   & b   \\ c   & d    \end{vmatrix}
+(ad + bc)   \begin{vmatrix} a^2 & b^2 \\ c^2  & d^2  \end{vmatrix}
-2abcd       \begin{vmatrix} a   & b   \\ c   & d    \end{vmatrix}
</math><br><math>=
-4abcd       \begin{vmatrix} a   & b   \\ c   & d    \end{vmatrix}
+(ad+bc) (a^2 d^2 -b^2 c^2)
</math><br><math>=
-4abcd (ad-bc)+(ad-bc)^2(ad-bc)
\,</math><br><math>=
(ad-bc)[(ad-bc)^3-4abcd]=(ad-bc)^3 
\,</math>.
|}
----
Të vërtetohet identiteti

<center><math>\begin{vmatrix}
a-b-c  & 2a    & 2a \\
2b    &  b-c-a & 2b \\
2c    &  2c    &c-a-b
\end{vmatrix}=(a+b+c)^3</math>.</center>

<u>V ë r t e t i m:</u> Duke shfrytëzuar vetitë e përcaktorëve kryhen këto transformime identike

{|border=0
|<math>\begin{vmatrix}
a\!-\!b\!-\!c 	&2a	& 2a	\\			
2b	&b\!-\!c\!-\!a	&2b	\\			
2c	&2c	&c\!-\!a-\!b				
\end{vmatrix}</math>
|<math>\!=\!i\!+\!(ii\!+\!iii)</math>
|<math>
\begin{vmatrix}
a\!+\!b\!+\!c	&a\!+\!b\!+\!c 	&a\!+\!b\!+\!c	\\
2b	&b\!-\!c\!-\!a 	&2b	\\
2c	&2c	&\!c\!-\!a\!-\!b
\end{vmatrix}</math><br>
|-
|
|<math>\!=(a\!+\!b\!+\!c)</math>
|<math>\begin{vmatrix}
1	&l	&1	\\
2b	&b\!-\!c\!-\!a	&2b	\\
2c	&2c	&c\!-\!a\!-\!b	
\end{vmatrix}</math><br>
|-
|
|<math>=(a\!+\!b\!+\!c)</math>
|<math>\begin{vmatrix}										
1	&\overset {(ii-i)} {0}		& \overset {(iii-i)} {0}	\\			
2b	&-(a\!+\!b\!+\!c)			&0				\\	
2c	&0				&-(a\!+\!b\!+\!c)
\end{vmatrix}</math><br>
|-
|
|<math>=(a\!+\!b\!+\!c)</math>
|<math>\begin{vmatrix}
-(\!a\!+\!b\!+\!c\!)	&0		\\						
0		&-(a+b+c)	
\end{vmatrix}</math><br>
|-
|
|<math>=(a\!+\!b\!+\!c)^3 
\,</math>.
|}


[[Category:Përcaktorët]]