Shih burimin për Ligji i De Morganit

{{StyllaAlgjebraepërgjithëshme|Bashkësitë}}
Të vërtetohen relacionet:

<center>{{mate|(A{{union}}B)'{{Barazim}}A'{{prerje}}B'}} dhe {{mate|(A{{prerje}}B)'{{Barazim}}A'{{union}}B'}}</center>

që paragesin ligjet e ''De Morganit''.

V ë r t e t i m : Të vërtetojmë relacionin e parë. Vërtetimi bëhet sipas skemës:

(1) vërtetohet se {{mate|(A{{union}}B)'{{inkluzion}}A'{{prerje}}B'}} ;

(2) vërtetohet se {{mate|A'{{prerje}}B'{{inkluzion}}(A{{union}}B)'}} ; dhe

(3) nxirret konkludirni se {{mate|(A{{union}}B)'{{Barazim}}A'{{prerje}}B'}}.

(1) vërtetimi i inkluzionit {{mate|(A{{union}}B)'{{inkluzion}}A'{{prerje}}B'}}.

Le të supozojmë se x është cilido një element i bashkësisë {{mate|(A{{union}}B)}}', atëherë marrim këto implikacione:

<center>{{mate|x{{enë}}(A{{union}}B)'{{implikacion}}x{{joenë}}A{{union}}B{{implikacion}}x{{joenë}}A{{dhe}}x{{joenë}}B{{implikacion}}x{{enë}}A'{{dhe}}x{{enë}}B'{{implikacion}}x{{enë}}A'{{prerje}}B'}}.</center>

Meqë, implikacioni {{mate|x{{enë}}(A{{union}}B'{{implikacion}}x{{enë}}A'{{prerje}}B'}} vlen për secilin element të bashkësisë {{mate|(A{{union}}B)'}}, respektivisht

<center>{{mate|({{çdo}}x{{enë}}(A{{union}}B)')x{{enë}}(A{{union}}B'{{implikacion}}x{{enë}}A'{{prerje}}B'}}.</center>

konkludojmë se {{mate|(A{{union}}B)'{{inkluzion}}A'{{prerje}}B'}}.

(2) ''Vërtetimi i inkluzionit'' {{mate|A'{{prerje}}B'{{inkluzion}}(A{{union}}B)'}}:

Le të supozojmë tani se {{mate|y}} është cilido një element i bashkësisë {{mate|A'{{prerje}}B'}}, atëherë kemi këto implikacione:

<center>{{mate|y{{enë}}A'{{prerje}}B'{{implikacion}}y{{enë}}A'{{dhe}}y{{enë}}B'{{implikacion}}y{{joenë}}A{{dhe}}y{{joenë}}B{{implikacion}}y{{joenë}}A{{union}}B{{implikacion}}y{{enë}}(A{{union}}B)'}}.</center>

Meqë edhe këtu implikacioni {{mate|y{{enë}}A,{{prerje}}B'{{implikacion}}y{{enë}}(A{{union}}B)'}} vlen për secilin element të bashkësisë {{mate|A'{{prerje}}B'}} respektivisht :

<center>{{mate|({{çdo}}y{{enë}}A'{{prerje}}B') y{{enë}}A'{{prerje}}B'{{implikacion}}y{{enë}}(A{{union}}B)'}},</center>

konkludojmë se {{mate|A'{{prerje}}B'{{inkluzion}}(A{{union}}B)'}}.

(3) Nga inkluzionet të vërtetuara nën (1) dhe (2) dhe në bazë të përkufizimit 2.1 .3. :

{|align="center"
|-
| style="text-align: right;"| {{mate|(A{{union}}B)'{{inkluzion}}A'{{prerje}}B'}}
| rowspan="2" |<math>\displaystyle { \} }</math> {{mate|{{ekuivalent}}(A{{union}}B)'{{Barazim}}A'{{prerje}}B'}},
|-
|style="text-align: right;"|{{mate|A'{{prerje}}B'{{inkluzion}}(A{{union}}B)'}} 
|}

konkludojmë se është i saktë relacioni që shpreh ligjin e parë të ''De Morganit''. Në mënyrë analoge bëhet vërtetimi i ligjit të dytë <ref>Vërtetimi i ligjeve të De Morganit shkurtohet nëse në vend të {{implikacion}} përdoret {{ekuivalent}}. Provo!</ref>.

----
<references/>
[[Category:Algjebra e përgjithëshme]]