Shih burimin për Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit

{{StyllaAlgjebraepërgjithëshme|Grupi}}

{{dygishta}}Le të jenë {{mate|(A, {{o}}), (B, {{*}} ) }} dy grupe dhe {{mate|h:A&rarr;B}} pasqyrimi bashkësisë i {{mate|A}} në bashkësinë {{mate|B}}. Thuhet se grupet {{mate|(A, {{o}} ) }} dhe {{mate|(B, {{*}} ) }} janë ''homomorfe'', kurse pasqyrimi{{mate|h}} ''homorfizëm'' i grupit {{mate|(A, {{o}})}} në grupin {{mate|(B, {{*}} ) }}, nëse (fig. 1.17.):
<center>{{mate|({{çdo}}a, b {{enë}} A) h (a {{o}} b) {{Barazim}} h (a) {{*}} h (b) }}.(...51)</center>
{{dygishta}}Kur {{mate|h (A){{Barazim}}B}}, {{mate|h}} quhet ''homomorfizëm'' i grupit {{mate|(A, {{o}})}} mbi grupin {{mate|(B, {{*}})}} ose ''homomorfizëm'' surjektiv apo ''epimorfizëm'' (fig. 1.18.).

:::Fig. 1.18. Fig. 1.17.
{{dygishta}}Nëse {{mate|e}} dhe {{mate|e'}} janë elementet neutrale të grupeve homomorfe {{mate|(A, {{o}})}} dhe {{mate|(B, {{*}})}}, atëherë kemi:
{|border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=1 
| {{mate|h (a) {{Barazim}} h (a {{o}} e) {{Barazim}} h (a) {{*}} h (e)}}
|rowspan="2"|{{mate| <math> \Big\} </math>  h (e) {{Barazim}} e'}},
|-
| {{mate|h (a) {{Barazim}} h (e {{o}} a) {{Barazim}} h (e) {{*}} h (a)}}
|}
:çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit {{mate|(A, {{o}})}} është element neutral i grupit {{mate|(B, {{*}})}}.
{{T e o r e m a|6.1.1.| Nëse {{mate|h{{sub|1}} }} është homomorfizëm i {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}})}} në {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}})}} dhe h{{sub|2}} homomorfizëm i {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}})}} në {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}})}}, shumëzimi {{mate|h{{sub|2}}{{o}} h{{sub|1}} }} është homomorfizëm i {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}})}} në {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}})}}.}}
{{V ë r t e t i m}} Nga hipotezat e teoremës kemi:
{|
|{{dygishta}}
| valign="top"|(1) {{mate|({{çdo}}a, b{{enë}}A) h{{sub|1}} (a{{o}}{{sub|1}} b) }}<br />.
| {{mate|{{Barazim}}h{{sub|1}}(a){{o}}{{sub|2}} h{{sub|1}}(b)}}<br>{{mate|{{Barazim}}a'{{o}}{{sub|2}} b'}}, ku {{mate|a' {{Barazim}} h {{sub|1}} (a), b'{{Barazim}}h{{sub|1}} (b)}};
|-
| {{dygishta}}
| valign="top"|(2) {{mate|({{çdo}}a', b'{{enë}} B) h{{sub|2}} (a'{{o}}{{sub|2}} b')}}
| {{mate|{{Barazim}}h{{sup|2}}(a'){{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} (b')<br>{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}}(a)] {{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (b)]<br>{{Barazim}}(h{{sub|2}}{{o}} h{{sub|1}}) (a) {{o}}{{sub|3}} (h{{sub|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (b)}}.
|}
{{dygishta}}Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
{|
|-
| {{dygishta}}
| valign="top"|{{mate|({{çdo}}a, b{{enë}} A) (h{{sup|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (a {{o}}{{sub|1}} b)}}
|{{mate|{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a {{o}}{{sub|1}} b)]<br>{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a){{o}}{{sub|2}} h{{sub|1}} (b)]<br>{{Barazim}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a) {{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} h{{sub|1}} (b)]<br>{{Barazim}} (h{{sub|2}} {{o}} h {{sub|1}}) (a) {{o}}{{sub|3}} (h{{sub|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (b)}}
|}
:dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
{{dygishta}}Homomorfizmi injektiv i grupit {{mate|(A, {{o}}) }} në grupin {{mate|(B, {{*}}) }} quhet <i>izomorfizëm</i> i {{mate|(A, {{o}}) }} në {{mate|(B, {{*}})}} (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi {{mate|h}} është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i {{mate|(A, {{o}}) }} mbi {{mate|(B, {{*}}) }} quhet izomorfizëm i {{mate|(A, {{o}})}} mbi {{mate|(B, {{*}})}} dhe thuhet se grupet {{mate|(A, {{o}}) }}, {{mate|(B, {{*}}) }} janë <i>izomorfe</i> ndërmjet tyre.
{{dygishta}}Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
:Fig. 1.20.
{{T e o r e m a|6.1.2.| Nëse {{mate|i{{sub|1}} }} është izomorfizëm i grupit {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}}) }} mbi grupin {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}}) }} dhe {{mate|i{{sub|2}} }} izomorfizëm i {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}}) }} mbi {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}}) }}, shumëzimi {{mate|i{{sub|2}} {{o}} i{{sub|1}} }} është izomorfizëm i grupit {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}}) }} mbi grupin {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}}) }}. }}
{{dygishta}}Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !
{{S h e m b u l l i|23.}} Të shohim grupet {{mate|({{numratR}}+, .), ({{numratR}}, +) }} dhe {{mate|h:{{numratR}}+&rarr;{{numratR}}}} pasqyrimin e {{mate|{{numratR}}+}} në {{mate|{{numratR}} }} që përcaktohet me formulën:
<center>{{mate|h:x&rarr;y{{Barazim}} log x, {{çdo}}x{{enë}}{{numratR}}{{sup|+}} }}.</center>
{{dygishta}}Meqë vlen:
<center>{{mate|({{çdo}}x{{sub|1}}, x{{sub|2}} {{enë}} {{numratR}}{{sup|+}}) log (x{{sub|1}} • x{{sub|2}}){{Barazim}} log x{{sub|1}} +log x{{sub|2}} }},</center>
:themi se {{mate|(R{{sup|+}},.), (R, +)}} janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi {{mate|h}} homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi {{mate|h}} është izomorfizëm.
Fig. 1.19.
----
<references/>
[[Category:Algjebra e përgjithëshme]]