Vetit e përcaktorëve

Stampa:StyllaMatricatdhepërcaktorët Në bazë të relacioneve përkufizuese (24), (25) të përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë, me njehsime të drejtpërdrejta mund të provohen këto veti të përcaktorëve:

(a1)	$\det A^{\prime }=\det A$
(a2)	$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$	$=-\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{11}& a_{12}\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{11}\\ a_{22}& a_{21}\end{array}\right|$
(a3)	$\alpha \left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$	$=\left|\begin{array}{cc}\alpha a_{11}& \alpha a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ \alpha a_{21}& \alpha a_{22}\end{array}\right|$ $=\left|\begin{array}{cc}\alpha a_{11}& a_{12}\\ \alpha a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& \alpha a_{12}\\ a_{21}& \alpha a_{22}\end{array}\right|$
(a4)	$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ \alpha a_{21}& \alpha a_{22}\end{array}\right|$	$=0,\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& \alpha a_{12}\\ a_{21}& \alpha a_{22}\end{array}\right|=0;$
(a5)	$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}+a\\ a_{21}& a_{22}+b\end{array}\right|$	$=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a\\ a_{21}& b\end{array}\right|$ $=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}+a& a_{22}+b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a& b\end{array}\right|$
(a6)	$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$	$=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}+\alpha a_{11}& a_{22}+\alpha a_{12}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}+\alpha a_{21}& a_{12}+\alpha a_{22}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ $=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}+\alpha a_{11}\\ a_{21}& a_{22}+\alpha a_{21}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}+\alpha a_{12}& a_{12}\\ a_{21}+\alpha a_{22}& a_{22}\end{array}\right|$
(a7)	Nëse $A=[a_{ik}{]}_1^n,B=[b_{ik}{]}_1^n(n=2\vee 3)$ atëherë $\det (AB)=(\det A)(\det B)$.

Në bazë të relacionit përkufizues (26) mund të vërtetohet se po këto veti i kanë edhe përcaktorët e rendit $n$, rrjedhimisht nëse $A$ dhe $B$ janë dy matrica katrore të rendit $n$, atëherë:

(a₁) $\det A^{\prime }=\det A$.

(a₂) Përcaktori e ndërron parashenjën kur dy rreshtat (shtyllat) e $\det A$ permutohen.

(a₃) Përcaktori shumëzohet (pjesëtohet) me skalarin $\alpha$, kur të gjitha elementet e një rreshti (shtylle) shumëzohen (pjesëtohen) me $\alpha$.

(a₄) Përcaktori është i barabartë me zero, kur elementet e një rreshti (shtylle) janë proporcionale me elementet përkatëse të ndonjë rreshti (shtylle) tjetër.

(a₅) Nëse të gjitha elementet e rreshtit (shtyllës) të $i$-të të $\det A$ janë paraqitur në formë të shumës së dy mbledhësve, përcaktori i tillë është i barabartë me shumën e dy përcaktorëve në të cilët të gjithë rreshtat (shtyllat), përveç rreshtit (shtyllës) të $i$-të janë sikurse në $\det A$, kurse rreshti (shtylla) i $i$-të përbëhet prej mbledhësve të parë në përcaktorin e parë, e prej mbledhësve të dytë në përcaktorin e dytë.

(a₆) Përcaktori nuk ndryshohet nëse një rresht (shtyllë) i tij çfarëdo shumëzohet (pjesëtohet) me skalarin $\alpha$ dhe i shtohet ndonjë rreshti (shtyllë) tjetër.

(a₇) $\det (AB)=(\det A)(\det B)$.

Nga vetia (a₃) drejtpërsëdrejti mund të nxirren këto dy rregulla praktike:

1°. Kur të gjitha elementet e një rreshti (shtyllë) të përcaktorit përmbajnë një faktor të përbashkët, faktoti i tillë mund të nxirret para përcaktorit;

2°. Kur të gjitha elementet e një rreshti (shtyllë) të përcaktorit janë të barabarta me zero, edhe vetë përcaktori është i barabartë me zero.

Përndryshe, vetitë e përmendura të përcaktorëve shfrytëzohen për t'i thjeshtësuar ato dhe për ta njehsuar më lehtë vlerën e tyre.