Përcaktorët

Stampa:StyllaMatricatdhepërcaktorët Stampa:DygishtaSecilës matricë katrore $A = [a_{i k}]_{1}^{n}$ të rendit $n$ i shoqërohet një dhe vetëm një numër i caktuar i cili quhet përcaktor (determinant) i matricës ose vetëm përcaktor (determinant) dhe shënohet $\det A$ ose $| A |$ Stampa:DygishtaKështu për shembull: Stampa:DygishtaMatricës së rendit të dytë $A = [a_{i k}]_{1}^{2}$ i shoqërohet numri $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ , rrjedhimisht

\det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

(...24)

i cili quhet përcaktor i rendit të dytë.

Stampa:DygishtaMatricës së rendit të tretë $A = [a_{i k}]_{1}^{3}$ i shoqërohet numri

\det A = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | =

a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}

(...25)

i cili quhet përcaktor i rendit të tretë.

Ky numër formohet në këtë mënyrë: Stampa:DygishtaMarrim prodhimin $a_{11} a_{22} a_{33}$ e elementeve të matricës $[a_{i k}]_{1}^{3}$ që ndodhennë diagonalen kryesore. Nëse indekset e dyta të faktorëve të këtij prodhimi permutohen:

123 132 213 231 312 321

dhe secilit prodhim që del në këtë mënyrë i shoqërohet shenja

+

ose

-

, varësisht se a i përgjigjet prodhimi permutacionit çift apo tek, atëherë përftohet numri:

a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32} a_{-} a_{12} a_{21} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31}

që përkufizohet si përcaktor i rendit të tretë.

Stampa:DygishtaNë mënyrë të ngjashme matricës së rendit katërt $A = [a_{i k}]_{1}^{4}$ i shoqërohet numri që përftohet kur në prodhimin $a_{11} a_{22} a_{33} a_{44}$ indeksat e dytë të faktorëve permutohen (dalin: $4! = 24$ permutacione) dhe secilit prodhim i shoqërohet parashenja përkatëse:

\det A = Σ \pm a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} a_{3 p_{3}} a_{4 p_{4}}

.

Ky numër quhet përcaktor i rendit të katërt.

Në përgjithësi, matricës së rendit

n A = [a_{i k}]_{1}^{n}

i shoqërohet numri që përkufizohet me relacionin

\det A = Σ (- 1)^{p} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}}

, (26)

(ku

p_{1} p_{2} \dots p_{n}

paraqet një permutacion prej elementeve

1, 2, \dots, n

, kurse

p

shënon numrin e inversioneve^[1] të atij permutacioni) i cili quhet përcaktor i rendit $n$ . Në formulën (26) mbledhësit

(- 1)^{p} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}}

quhen kufiza të përcaktorit. Përcaktori i rendit

n

ka gjithsej

n!

kufizash. Secila kufizë shprehet në formë të prodhimit prej

n

faktorëve - elementeve -, ku figuron nga një element prej secilit rresht, respektivisht prej secilës shtyllë.

↑ 3) Në një permutacion dy elemente formojnë një inversion nëse ato nuk janë radhitur sipas rritjes së rangut të tyre.

[1] 3) Në një permutacion dy elemente formojnë një inversion nëse ato nuk janë radhitur sipas rritjes së rangut të tyre.

[1]

Përcaktorët

Menuja e navigimit

Kërko